Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
Доказательство. Каждый вектор ¯x, согласно Теореме 10.1 (или Теоре-
мам 10.2, 10.4), может быть разложен в сумму
¯x = ¯x
r
+ ¯x
n
, ¯x
r
∈ R(A
T
) , ¯x
n
∈ N(A) , ¯x
r
⊥ ¯x
n
.
Поэтому (теорема Пифагора)
k¯xk
2
= k¯x
r
k
2
+ k¯x
n
k
2
≥ k¯x
r
k
2
.
Компонента ¯x
r
сама является решением уравнения A¯x
r
= ˆz, так как A¯x
n
= 0
по опреде ле нию нуль-пространства N(A). Все ¯x отличаются от ¯x
r
добавле-
нием всево зможных ортогональных компонент ¯x
n
, причем k¯xk > k¯x
r
k при
единственном условии: k¯x
n
k 6= 0. Наименьшее значение k¯xk = k¯x
r
k требует
равенства k¯x
n
k = 0, т. е. достигается при единственном значении ¯x
n
= 0.
Тем самым доказано, что ¯x
0
= ¯x
r
. Чтобы установить единственность век-
тора ¯x
0
= ¯x
r
с минимальной нормой, предположим, что существуют два
различных ¯x
1
r
и ¯x
2
r
, оба из R(A
T
), такие что для них выполняется (10.9):
A¯x
1
r
= ˆz , A¯x
2
r
= ˆz .
Тогда, очевидно, имеем A(¯x
1
r
− ¯x
2
r
) = 0, так что (¯x
1
r
− ¯x
2
r
) ∈ N(A) =
= (R(A
T
))
⊥
. Оказалось, что вектор (¯x
1
r
− ¯x
2
r
) ортогонален сам себе, т. е.
(¯x
1
r
− ¯x
2
r
)
T
(¯x
1
r
− ¯x
2
r
) = k¯x
1
r
− ¯x
2
r
k
2
= 0, и тем самым ¯x
1
r
= ¯x
2
r
.
2
Замечание 10.4. Теорема 10.8 устанавливает, что при любом z ∈ R
n
¯x
0
может быть получен из любого вектора y ∈ R
n
, найденного ка к решение
совместной системы A
T
A(A
T
y) = A
T
z, по формуле ¯x
0
= A
T
y.
10.5 Отыскание псевдообратной матрицы
Переформулируем Определение 10.3 псевдообратной матрицы.
Определение 10.6. Псевдообратная матрица A
+
к матрице A ест ь
та кая матрица, что ∀z (∃¯x
0
, ¯x
0
= A
+
z), для которого выполнены условия:
(1) A¯x
0
= ˆz, где ˆz — проекция вектора z на R(A): z − ˆz ⊥ R(A);
(2) ¯x
0
∈ R(A
T
).
Пример 10.1. [13]
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
.
212

Страницы