Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
(2) Пусть P есть (n × n)-матрица со свойствами (i) и (ii) из предыдущего
пункта теоремы. Имеем P x ∈ R(P ). В то же время R(P ) есть множе-
ство векторов вида P y, где y – любой в ектор из R
n
.
Найдем скалярное произведение
(x −P x)
T
P y = x
T
(I − P
T
)P y = x
T
(P − P
T
P )y =
= x
T
(P − P
2
)y = x
T
(P − P )y = 0 .
Следовательно, для любого x ∈ R
n
произведение P x есть прое кция
вектора x на R(P ).
(3) Пусть P = A(A
T
A)
−1
A
T
. Имеем P x ∈ L = R(A). В то же время R(A)
есть множество векторов вида Ay, где y — любой вектор из R
n
. Найдем
скалярное произведение
(Ay)
T
(x − P x) = y
T
A
T
[I − A(A
T
A)
−1
A
T
]x =
= y
T
[A
T
− A
T
A(A
T
A)
−1
A
T
]x = 0 .
Следовательно, x − P x ⊥ L для всех x ∈ R
n
. 2
В качестве простого следствия отсюда легко видеть, что проекция век-
тора x на L(y) задается формулой (x
T
y)y/ kyk
2
, если y 6= 0. Также в ка-
честве следст в ия м ожно получить так называемую теорему разложения
Фурье [1].
Теорема 10.6 (Теоремa разложения Фурье [1]). Пусть дано соб ствен-
ное подпространство L = L(a
1
, . . . , a
m
) ⊂ R
n
и {a
1
, . . . , a
m
} — о ртонормиро-
ванный базис в L. Тогда для произвольного x ∈ R
n
проекция ˆx на L задается
формулой
ˆx =
"
m
X
i=1
a
i
(a
i
)
T
#
x = AA
T
x ,
где A = [a
1
| . . . | a
m
], т. е. P = P
A
= AA
T
, или же равносильной формулой
ˆx =
m
X
i=1
(x
T
a
i
) a
i
=
m
X
i=1
(x, a
i
) a
i
.
Кроме того, легко видеть в качестве следствия Теоремы 10.5, что если P есть
проектор на L, то (I −P ) ес т ь проектор на L
⊥
, где L = R(P ) и L
⊥
= N(P
T
).
Замечание 10.2. Теорема 10.5 в пункте (3) определяет матрицу
проектирования на пространство R( A) столбцов данной (n × m)-матрицы
208

Страницы