Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
то L и M являются ортогональными дополнениями друг к другу. Если
выполнено хотя бы одно из этих трех эквивалентных условий, то любой век-
тор x ∈ R
n
может быть разложен единственным образом в с умм у x = ˆx + ˜x,
где ˆx ∈ L, ˜x ∈ M. Составляющие этого разложения ˆx и ˜x являются проек-
циями вектора x на подпро странства L и M, со о т в етственно, и они взаимно
ортогональны, т. е. ˜x
T
ˆx = 0.
Доказательство. Все, что есть в этой формулировке, уже доказано в
Теореме 10.1, кроме последнего утверждения о проекциях вектора x. Чтобы
доказать и это, напомним, что проекцией вектора x на подпространство L
называется в ектор из L, ближайший к вектору x.
Для любого y ∈ L имеем
kx − yk
2
= kˆx + ˜x − yk
2
= k(ˆx − y) + ˜xk
2
= kˆx −yk
2
+ k˜xk
2
,
так как ˆx − y ∈ L и (ˆx − y) ⊥ ˜x. Поэтому kx − yk
2
≥ k˜xk
2
, и строгое
неравенство выполняется, если и только если y 6= ˆx. Следовательно, ˆx —
проекция x на L. 2
Замечание 10.1. Проекцию ˆx вектора x на подпространство L буде м
обозначать следующим образом: ˆx = (x
L).
10.2 Обобщение на гильбертовы пространства
Замечательно, что возможности линейной алге б ры не ог раничиваются
конечномерными пространствам и, сост оящими лишь из детерминистских
векторов. Ре а льные прикладные задачи имеют дело с функциями, причем не
обязательно детерминистскими, а случайными. Необходимость оперировать
со значениями функции на интервалах независимой переменной приводит
к понятию беско нечномерного вектора. Действите льно: любую функцию на
интервале значений аргумента можно рассматривать как вектор с контину-
альным количеством компонент, равных значениям этой функции при изме-
нении аргумента в своем интервале. Дальнейшее усложнение картины мы
получаем, когда рассм а триваем случайные функции, то есть ф ункции, при-
нимающие значения из некоторого выборочного, вероятностного простран-
ства. Эти обобщения содержатся в теории гильбертовых пространств слу-
чайных переменных, строгое построение которой можно найти, например, в
фундаментальной монографии [92].
204

Страницы