Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 240 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
Однако иногда такое условие не выполняется, и тогда ¯x
0
= A
+
z, где A
+
—
псевдообратная матрица (см. подразд. 10.4–10 .5, стр. 209–212).
11.3 Статистическая интерпретация
Предположим, что вектор о шибок v в уравнении (11.1) образован из слу-
чайных величин с нулевым средним и известной м а т рицей ковариации
E {v} = 0, E
vv
T
= P
v
, (11.9)
где E {·} — оператор математического ожидания (среднего) над ·, и P
v
— ПО
(положительно о преде ленная) матрица. На йдем квадратно-корневое разло-
жение P
v
= SS
T
(например, разложение Холесского). Если теперь умножить
вектор z (11.1) на S
−1
, то данные ¯z = S
−1
z получают представление
¯z =
¯
Ax + ¯v (11.10)
с матрицей
¯
A = S
−1
A и ошибками ¯v = S
−1
v. Этот ве ктор ошибок всегда
имеет единичную ковариацию:
E
¯v¯v
T
= E
S
−1
vv
T
S
−T
= S
−1
E
vv
T
S
−T
= S
−1
SS
T
S
−T
= I
m
,
где I
m
— единичная матрица размера (m × m). В следствие этого данные
¯z называют нормализованными экспериментальными данными. З начение
представ ления (11.10) заключается в том, что оно демонстрирует, как скон-
струировать вектор некоррелированных между собой измерений с единич-
ной дисперсией из вектора, элементы которого произвольно взаимно корре-
лированы (декоррелировать и нормализовать его). Ниже предполагае м , что
данные z (11.1) уже декоррелированы и нормализованы, так что
E {v} = 0, E
vv
T
= I
m
, (11.11)
где I
m
— единичная матрица размера (m ×m). При э т о м из (11.3) находим
A
T
A¯x = A
T
z = A
T
Ax + A
T
v,
A
T
A(¯x − x) = A
T
v.
Отсюда, если det(A
T
A) 6= 0, имеем
E {¯x} = x, (11.12)
(A
T
A) E
(¯x − x)(¯x − x)
T
(A
T
A) = A
T
E
vv
T
A = A
T
A. (11.13)
240

Страницы