Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11.4 Включение априорных статистических данных
Соотношение (11.12) выражает собой свойство несмещенности решения
(оценки) ¯x относительно неизвестного (постоянного) вектора x, измеряемого
в виде экспериментальных данных z, (11.1) или (11.10). Соотношение (11.13)
дает выражение для ковариации оценки ¯x в виде
P
¯x
= E
(¯x −x)(¯x − x)
T
= ( A
T
A)
−1
. (11.14)
при определении ¯x по нормализованным экспериментальным данным.
Обратная матрица P
−1
¯x
от ковариации P
¯x
называется информационной
матрицей. Ее обоз начение будет Λ
¯x
или просто Λ. При использовании нор-
мализованных данных она равна A
T
A, а в более общем случае (11.9) она
равна Λ = A
T
P
−1
v
A.
11.4 Включение априорных статистических данных
Предположим, что в добавление к линейной систем е (11.1) мы имеем
априорную несмещ енную оценку неизвестного вектора x в виде ˜x и соот-
ветствующую априорную информационную матрицу
˜
Λ. Это означает, что
E {˜x} = x и
˜
Λ
−1
= E
(¯x −x)(¯x − x)
T
=
˜
P , (11.15)
где
˜
P — ковариация оценки ˜x. Найдем какой-нибудь квадратный корень
˜
Λ
1/2
из матрицы
˜
Λ, например, по одному из разложений Холесского (см. разд. 6):
˜
Λ =
˜
Λ
1/2
˜
Λ
T/2
=
˜
R
T
˜
R,
где
˜
Λ
1/2
=
˜
R
T
. Образуем вектор ˜v = (
˜
Λ
1/2
)
T
(˜x −x) =
˜
R(˜x −x). Этот вектор
имеет смысл нормализованной ошибки для априорной оценки ˜x вектора x.
Действительно, его ковариация равна единичной матрице размера (n × n):
E
˜v˜v
T
=
˜
R E
(˜x −x)(˜x − x)
T
˜
R
T
=
˜
Λ
T/2
˜
Λ
−1
˜
Λ
1/2
= I
n
.
Так как о векторе x, кроме экспериментальных данных z, (11.1 ), известна
априорная оценка ˜x с ковариацией
˜
P =
˜
Λ
−1
, эту информацию целесообразно
включить в контекст задачи о наименьших квадратах, рас сматривая моди-
фицированный функционал качества J
1
(x) = ˜v
T
˜v + v
T
v вме сто (11.2). Он
соединяет в себе квадрат нормы нормализованной ошибки (невязки) апри-
орной оценки
˜v =
˜
R(˜x − x) =
˜
Λ
T/2
(˜x −x),
241

Страницы