Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11.5 Включение предшествующего МНК-решения
Так как E {˜x − x} = 0 и E {v} = 0 , то и E {ˆx − x} = 0, то есть ˆx есть также
несмещенная оценка: E {ˆx} = x. Если ошибка априорной оце нки и ошибка
измерения взаимно некоррелированы, E
(˜x − x)v
T
= 0, то после «возве-
дения в квадрат» обеих частей (11.19) и осреднения получим ковариацию
P
ˆx
= E
(ˆx − x)(ˆx −x)
T
= (
˜
Λ + A
T
A)
−1
=
ˆ
Λ
−1
, (11.20)
где через
ˆ
Λ обо значена информационная матрица апостериорной оценки ˆx,
ˆ
Λ =
˜
Λ + A
T
A.
Замечание 11.1. Матрица
˜
Λ не обязана быть невырожденной, хотя
в (11.15) это формально предполагалось. В действите льнос ти, априорное
знание некоторых (или всех) компонент вектора x может быть исчезающе
мало, так что соответствующие строки и столбцы в информационной м а т -
рице
˜
Λ заполняются исчезающе малыми числами или даже нулями. При
этом соотношение (11.15) сохраняет силу в пределе, в том смысле, что в кова-
риационной матрице
˜
P соотв етствующие диагональные элементы стремятся
к +∞, в то время как другие остаются ограниченными. Заметьте, что (11.18)
как условие минимума функционала (11.16) получается при произвольной
неотрицательно определенной матрице
˜
Λ. Если
˜
Λ = 0, то (11.1 8 ) сводится
к (11.3) и (11.2 0 ) сводится к (11.14). Таким образом, информационная и ко-
вариационная матрицы взаимно обратны не только формально в силу опре-
деления (11.15), но и по существу как меры достоверности/недостоверности
априорной оценки ˜x вектора x.
11.5 Включение предшествующего МНК-решения
Расширенная система (11. 1 7) показала, что априорные статистические
сведения о векторе x, поступающие в виде несмеще нной оценки ˜x и е е ков а -
риации
˜
P , могут быть интерпретированы как воображаемые добавочные
результаты ˜z =
˜
R˜x некоего эксперимента. Это наводит на мысль, что и
чисто алгебраическую задачу отыскания МНК-решения системы уравнений
можно реш а т ь последовательно: предварительно найти ˜x как МНК-решение
части системы, а затем включить это ˜x в полную систему, чтобы найти ее
МНК-решение ˆx. Такое разделение системы на две части — априорную и
текущую — можно назвать ее «расщеплением» (см. формальное решение
рассматриваемого здесь вопроса о расщеплении в подразд. 10. 8 ).
243

Страницы