Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 244 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
Пусть система уравнений произвольно расщеплена на эти две подсистемы:
f
z
=
˜
R
A
x +
w
v
. (11.21)
МНК-решение ˆx этой полной системы, доставляющее минимум функцио-
налу J
1
(x) = w
T
w + v
T
v, есть решение нормальных уранений
˜
R
T
A
T
˜
R
A
ˆx =
˜
R
T
A
T
f
z
. (11.22)
Допус т им, найдено МНК-решение ˜x для подсистемы f =
˜
Rx + w из крите-
рия минимума функционала J(x) = w
T
w. Как отмечено в (11.5)–(11.6), оно
удовлетворяет двум условиям:
˜
R˜x = ˜z , ˜z ∈ R(
˜
R) , f − ˜z ⊥R(
˜
R) ,
˜x ∈ R(
˜
R
T
) .
Разностный вектор r = f −˜z ортогонален пространству сто лбцов R(
˜
R) мат-
рицы
˜
R и, следовательно, лежит в левом нуль-пространстве N(
˜
R
T
), опреде-
ляемом как все векторы y, удовлетворяющие уравнению
˜
R
T
y = 0. Поэтому
˜
R
T
f =
˜
R
T
(˜z + r) =
˜
R
T
˜z +
˜
R
T
r =
˜
R
T
˜z .
Следовательно, уравнения (11.22) совпадают с уравнениями
˜
R
T
A
T
˜
R
A
ˆx =
˜
R
T
A
T
˜z
z
,
которые, в свою очередь совпадают с уранениями (11.18), так ка к
˜
R
T
˜
R =
˜
Λ.
Тем самым доказано, что МНК-решение ˆx данной системы (11.21) совпадает
с МНК-решением системы (11.17), отличающейся от (11.21) тем, что в нее
вместо f включен вектор ˜z, равный проекции f на R(
˜
R), ˜z =
˜
R˜x, где ˜x —
МНК-решение левой подс истемы в (11.21).
11.6 Рекурсия МНК в стандартной информационной
форме
Интерпретация априорных статистических данных как дополнительных
наблюдений, или, что равносильно, учет имеющегося МНК-решения подси-
стемы после добавления в систему новой порции уравнений, является крае-
угольным камнем рекурсии для МНК. Это дает в о зможность обрабатывать
244

Страницы