Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 246 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
11.7 Рекурсия МНК в стандартной ковариационной
форме
Пусть априорная и апостериорная оценки, ˜x и ˆx, характеризуются невы-
рожденными информационными матрицами
˜
Λ и
ˆ
Λ, соответств енно. Тогда
существуют обратные к ним ковариационные матрицы, (11.15) и (11.20).
Разре шим (11.18) относительно ˆx:
ˆx = (
˜
Λ + A
T
A)
−1
˜
Λ˜x + (
˜
Λ + A
T
A)
−1
A
T
z .
Обозначим
L = (
˜
Λ + A
T
A)
−1
˜
Λ, K = (
˜
Λ + A
T
A)
−1
A
T
(11.25)
и преобразуем:
ˆx = L˜x + Kz −KA˜x + KA˜x = ˜x + K(z −A˜x) ,
так как L+KA = I
n
. Для определения K воспользуемся в (11.25) следующей
важной леммой.
Лемма 11.1.
(Λ
1
− Λ
12
Λ
−1
2
Λ
21
)
−1
= Λ
−1
1
+ Λ
−1
1
Λ
12
(Λ
2
− Λ
21
Λ
−1
1
Λ
12
)
−1
Λ
21
Λ
−1
1
, (11.26)
где предполагается, что все матрицы согласованы по размерам и тре буемые
обращения матриц существуют.
Упражнение 11.1. Докажите лемму 11.1, рассматривая блочные мат-
рицы
Λ
1
Λ
12
Λ
21
Λ
2
−1
=
P
1
P
12
P
21
P
2
,
и выписывая поблочно равенства ΛP = I и P Λ = I.
Применим лемму 11.1 при Λ
1
=
˜
Λ, Λ
12
= A
T
, Λ
21
= Λ
T
12
= A, Λ
−1
2
= −I.
Получим
(
˜
Λ + A
T
A)
−1
=
˜
Λ
−1
−
˜
Λ
−1
A
T
(A
˜
Λ
−1
A
T
+ I)
−1
A
˜
Λ
−1
.
Обозначим:
˜
P =
˜
Λ
−1
,
ˆ
P =
ˆ
Λ
−1
. Имеем из подразд. 11.5 выражение (11.23):
ˆ
Λ =
˜
Λ + A
T
A. Следовательно,
ˆ
P =
˜
P −
˜
P A
T
(A
˜
P A
T
+ I)
−1
A
˜
P . Так как
K =
ˆ
P A
T
, т о
K =
˜
P A
T
−
˜
P A
T
(A
˜
P A
T
+ I)
−1
A
˜
P A
T
=
=
˜
P A
T
(A
˜
P A
T
+ I)
−1
[A
˜
P A
T
+ I − A
˜
P A
T
] =
˜
P A
T
(A
˜
P A
T
+ I)
−1
.
246

Страницы