Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 248 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
III. Экстраполяция. Распространение оценки ˆx и ее ковариации
ˆ
P между
наблюдениями, т. е. к моменту повторения этапа II со следующей пор-
цией наблюдений :
˜
P :=
ˆ
P , ˜x := ˆx . (11.29)
Замечание 11.2. Первая и вторая формулы в (11.29) выражают пра-
вило экст раполяции только для статической МНК-задачи оценивания, т. е.
для случая, когда оцениваемый вектор x не изме ня ется в процессе наблю-
дения: x = const. Они заменяются другими в случае динамической МНК-
задачи оценивания — первыми двумя формулами в системе уравнений (13.3)
(см. ниже стр. 273).
Рав ным образом данный алгоритм пригоден и без статис т ической интер-
претации (см. подразд. 11.5), когда алгебраическая задача отыскания МН К-
решения переопределенной системы решается последовательно. Такое реше-
ние может стартовать с условно «пустой» системы уравнений. Практически,
это должно отвечать условию
˜
Λ = 0, кот о рое легко реализовать в инфор-
мационной форме (подразд. 11.5). В ковариационной форме данное условие
можно реализовать лишь приближенно, например, полагая P
0
= ε
−2
I, где
ε → 0. При таком выборе величина x
0
практически не имеет влияния на
дальнейший процесс, так что она может быть взята равной нулевому ве к-
тору, x
0
= 0. После такой инициализации уравнения исходной переопреде-
ленной системы могут вводиться в этап обработки измерений последователь-
ными порциями, и в порциях может содержаться любое, не о бязательно одно
и то же, число уравнений, выражаемое в числе строк матрицы A.
Как следует из подразд. 11.5, от указанного числа МНК-решение всей
алгебраической системы уравнений не зависит. В связи с э т им, с вычисли-
тельной точки зрения удобным оказывается добавление в очередной пор-
ции лишь по одному уравнению. Тогда матрица A содержит всего одну
строку, которую теперь обозначим как транспонированный вектор-столбец
a, a
T
= (a
1
, a
2
, . . . , a
n
). В этом случае
z = a
T
x + v, (11.30)
и обработка наблюдений (11.28) принимает особенно прост о й вид:
α = a
T
˜
P a+1, K =
˜
P a/α,
ˆ
P =
˜
P −Ka
T
˜
P , ˆx = ˜x+K(z−a
T
˜x). (11.31)
Это алгоритм скалярной (последовательной) обработки. В нем умножение
на обратную матрицу (A
˜
P A
T
+ I)
−1
заменяется делением на скалярную
величину α.
248

Страницы