Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
Упражнение 11.4. Докажите, что в алго ритме (11.28) с определением
K по выражению (11.32) вычисление
ˆ
P может быть представлено в так назы-
ваемой симметричной форме Д жозефа:
ˆ
P = (I − KA)
˜
P(I − KA)
T
+ KRK
T
,
которую иначе называют стабилизированным алгоритмом Калмана, так
как она предотвращает в о зможную потерю положительной определенности
матрицы
ˆ
P , присущую стандартному алгоритму (11.28) с
ˆ
P =
˜
P − KAP .
При скалярной обработке наблюдений в алгоритме (11.34) это выражение
для
ˆ
P , соот в етственно, заменяется на скаляризованный алгоритм Д ж озефа
ˆ
P = (I −Kα
T
)
˜
P (I −αK
T
) + rKK
T
.
11.8 Ковариационный алгоритм Поттера для МНК
Вместо матриц
˜
P и
ˆ
P , по своей природе положительно определенных,
далее о перируем с квадратными корнями из них, со о т ветственно,
˜
S и
ˆ
S,
отвечающими равенствам
˜
S
˜
S
T
и
ˆ
S
ˆ
S
T
. Перепишем выражение для
ˆ
P в (11.3 4)
в виде
ˆ
S
ˆ
S
T
=
˜
S(I
n
− ff
T
/α)
˜
S
T
, f =
˜
S
T
a, α = r + f
T
f,
где n — размерность векторов ˆx, ˜x, и потребуем так выбрать число β, чтобы
обеспечить справедливость следующего разложения:
I
n
− ff
T
/α = (I
n
− βff
T
)(I
n
− βff
T
).
Отсюда для β получаем квадратное уравнение и из двух его решений выби-
раем
β = (1/α)/(1 +
p
r/α),
поскольку выбор знака ” + ” обеспечивает меньший урове нь относительных
ошибок при этих вычислениях. Обо значим
γ = 1/(1 +
p
r/α),
тогда β = γ/α. В итоге вместо (11.34) получаем следующий ряд формул:
f =
˜
S
T
a ,
α = f
T
f + r ,
γ = 1/(1 +
p
r/α) ,
K =
˜
Sf/α ,
ˆ
S =
˜
S − γKf
T
,
ˆx = ˜x + K( z − a
T
˜x) ,
(11.35)
250

Страницы