Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 249 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11.7 Рекурсия МНК в стандартной ковариационной форме
Упражнение 11.2. С применением леммы 11.1 к выражению (11.24)
докажите, что в общем случае ненормализованных экспериментальных дан-
ных (11.1) при их статистической интерпретации с ковариацией ошибок v,
равной R, матрица Калмана K в алгоритме (11.2 8 ) определяется выраже-
нием
K =
˜
P A
T
(A
˜
P A
T
+ R)
−1
. (11.32)
Упражнение 11.3. Статистичес кая интерпретация алгоритма (11.31)
дана в подразд. 11.3 для случая, когда экспериментальные данные (11.1)
нормализованы, то есть характеризуются математическими ожидани-
ями (11.11). Это выражается добавлением «+1» в выражении для α, (11.31),
причем эта «+1» есть не что иное как E
vv
T
= 1 для ошибки v в (11.30).
Докажите, что в более общем случае, когда матрица R в (11.32) является
диагональной,
R = diag (r
1
, r
2
, . . . , r
m
), (11.33)
и только в этом случае матричный алгоритм (11.28) с матрицей K из (11. 3 2)
эквивалентен m-кратному повт орению скалярного алгоритма вида (11.31) с
α = a
T
˜
P a + r, где a
T
— i-я с т рока матрицы A, r = r
i
и z — i-й элемент
вектора z, (11. 1 ), при i = 1, 2 , . . . , m.
Таким образом, скаляризованный алгоритм Калмана (11.31) имеет сле-
дующее общее представление:
α = a
T
˜
P a+r, K =
˜
P a/α,
ˆ
P =
˜
P −Ka
T
˜
P , ˆx = ˜x+K(z −a
T
˜x), (11.34)
если наблюдения (11.1) в их статистической интерпретации составлены из
m о тдельных, нез ав исимых друг от друга, скалярных данных вида (11.30),
каждое с ковариацией r = r
i
, i = 1, 2, . . . , m.
Еще раз отметим, что в применении к решению переопределенной сис-
темы алгебраических уравнений в (11.34) следует считать r = 1, то есть
использовать (11.31).
Замечание 11.3. Условие (11.33) не являет ся ни в коей мере
ограничительным для использов а ния (11.34). Используя разложение Холес-
ского без квадратных корней (см. разд. 6), любую R > 0 можно предста-
вить в виде R = UDU
T
или R = LDL
T
и затем перейти к измерениям
¯z = U
−1
z или ¯z = L
−1
z, чтобы диагонализировать матрицу ковариаций
ошибок наблюдений.
249

Страницы