ВУЗ:
Составители:
3.5 LU-разложение и его ijk-формы
Здесь последняя формула обозначает модификацию j-го элемента i-й
строки матрицы A при исключении k-й переменной вектора неизвестных
x из уравнений системы Ax = f. Перестановки трех индексов для циклов
определяют 3! = 6 возможных вариантов алгоритмов, образуя так называ-
емые ijk-формы, для каждого вида разложения. Для квадратной матрицы
A размера (n × n) во зможны четыре вида разложения, а именно:
A = L
¯
U, A =
¯
LU, A = U
¯
L, A =
¯
UL, (3.10)
где черта сверху указывает на т от из сом ножителей, который имеет единич-
ную главную диагональ. Поэтому всего возможно построить 24 варианта
ijk-алгоритмов разложения матрицы для решения различных задач: реше-
ния систем, обращения матрицы и вычисления ее определителя.
Рассмотрим все шесть ijk-форм для одного из четырех разложений (3.10),
а именно, для
¯
LU-разложения матрицы A. Для числе нной иллюстрации
возьмем следующий пример.
Пример 3.3.
A =
2 4 −4 6
1 4 2 1
3 8 1 1
2 5 0 5
,
¯
L =
1
1/2 1
3/2 1 1
1 1/2 2/3 1
, U =
2 4 −4 6
2 4 −2
3 −6
4
.
Два алгоритма для
¯
LU-разложения матрицы A
с неме дле нными модификациями
1) kij- алгоритм, рис. 3.1.
Доступ к элементам матрицы
A по строкам. Исключение по
столбцам. Модификации немед-
ленные. ГЭ — любая из трех
стратегий.
Для k = 1 до n − 1
Для i = k + 1 до n
l
ik
= a
ik
/a
kk
Для j = k + 1 до n
a
ij
= a
ij
− l
ik
a
kj
2) kji- алгоритм, рис. 3.2.
Доступ к элементам матрицы
A по столбцам. Исключение по
столбцам. Модификации немед-
ленные. ГЭ — любая из трех
стратегий.
Для k = 1 до n − 1
Для s = k + 1 до n
l
sk
= a
sk
/a
kk
Для j = k + 1 до n
Для i = k + 1 до n
a
ij
= a
ij
− l
ik
a
kj
63
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
