Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

3 Векторно-ориентированные алгоритмы LU-разложения
Уделить особое внимание эффективности программы (в смысле эконо-
мии оперативной памяти). Предусмотреть пошаговое выполнение алгоритма
исключения с выводом результата на экран.
Выполнить следующие пункты задания.
1. Провес т и подсчет фактического числа в ыполняем ых операций умноже-
ния и деления при решении системы линейных алгебраических уравнений,
сравнить его с оценочным числом (n
3
/3).
2. Определить скорость решения задач (решение систем линейных алгеб -
раических уравнений, обращение матриц) с уче т о м времени, затрачиваемого
на разложение матрицы. Для этого спроектировать и провести э ксперимент,
кот о рый охватывает матрицы порядка от 5 до 100 (через 5 порядков). Пред-
ставить результаты в виде таблицы и графика зависимости времени выпол-
нения (в минутах и секундах) от порядка матриц. Таблицу и график вывест и
на экран.
3. Оценить точность решения сис тем линейных алгебраических уравне-
ний, имеющих тот же самый поря док, что и з а дачи из пункта 2. Для этого
сгенерировать случайные матрицы A, задать точное решение x
∗
и образовать
правые части f = Ax
∗
. Провести анализ точности вычисленного решения x
от порядка матрицы. Результаты представить в виде таблицы и графика.
Для заполнения м а т рицы A использовать случайные числа из диапазона
от −100 до 100. В качестве точного решения взять вектор x
∗
= (1, 2, . . . , n)
T
,
где n — порядок матрицы. Для оценки точности использоват ь норму вектора
kxk
∞
= max
i
(|x
i
|). (3.12)
4. Повторить пункт 3 задания для плохо обусловленных матриц (см. под-
разд. 2.6), имеющих порядок от 4 до 40 с шаг о м 4.
5. Вычислить матрицу A
−1
следующими двумя способами.
Способ 1 — че рез решение системы AX = I, где I — единичная матрица.
Способ 2 — че рез разложение матрицы A в произведение элементарных
матриц, обращение кото рых о существляется аналитически, а их произведе -
ние дает матрицу A
−1
.
Сравнить затраты машинного в ремени и точность обращения матриц при
использовании ука занных способов 1 и 2. Эксперименты провести для слу-
чайных матриц порядков от 5 до 100 через 5. Для оценки точности в обоих
способах использовать оце ночную фо рмулу
kA
−1
т
− A
−1
пр
k ≤ kI − AA
−1
пр
k · kAk
−1
. (3.13)
70

Страницы