Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

4.4 Задание на лабораторный проект № 3
Уделить особое внимание эффективности программы (в смысле эконо-
мии оперативной памяти). Предусмотреть пошаговое выполнение алгоритма
исключения с выводом результата на экран.
Выполнить следующие пункты задания.
1. Провес т и подсчет фактического числа выполняемых операций умноже-
ния и деления при решении системы линейных алгебраических уравнений,
сравнить его с оценочным числом ( n
3
/3).
2. Определить скорость решения задач (решение систем линейных алгеб-
раических уравнений, обращение матриц) с уче т о м времени, затрачиваемого
на разложение матрицы. Д ля этого спроектировать и провести эксперимент,
который охватывает матрицы порядка о т 5 до 100 (через 5 порядко в ). Пред-
ставить результаты в виде таблицы и графика зависимости времени выпол-
нения (в минутах и секундах) от порядка матриц. Таблицу и график вывести
на экран.
3. Оценить точность решения сис тем линейных алгебраических уравне-
ний, имеющих тот же самый порядок, что и задачи из пункта 2. Д ля этог о
сгенерировать случайные матрицы A, задать точное решение x
∗
и образовать
правые части f = Ax
∗
. Провести анализ точности вычисленного решения x
от порядка матрицы. Результаты представить в в иде таблицы и графика.
Для заполнения матрицы A использовать случайные числа из диапазона
от −100 до 100. В качестве точного решения взять вектор x
∗
= (1, 2, . . ., n)
T
,
где n — порядок матрицы. Для оценки точности использова ть норму вектора
kxk
∞
= max
i
(|x
i
|). (4.5)
4. Повторить пункт 3 за дания для плохо обусловленных матриц (см. под-
разд. 2.6), имеющих порядок от 4 до 40 с шаго м 4.
5. Вычислить матрицу A
−1
следующими двумя спос о б ам и.
Способ 1 — через решение системы AX = I, где I — единичная матрица.
Способ 2 — через разложение матрицы A в произведение элементарных
матриц, обращение которых осуществляется аналитически, а их произведе-
ние дает матрицу A
−1
.
Сравнить затраты машинного времени и то чност ь обраще ния матриц при
использовании указанных с пособов 1 и 2. Эксперименты провести для слу-
чайных мат риц порядков от 5 до 100 через 5. Для оценки то чности в обоих
способах использо в а ть оценочную формулу
kA
−1
т
− A
−1
пр
k ≤ kI − AA
−1
пр
k · kAk
−1
. (4.6)
79

Страницы