Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6
Разложения Холесского
6.1 Положительно определенные матрицы
Определение 6.1. Симметрическая матрица P , P (n, n)
1
, называется
положительно определенной (ПО), если и то лько если x
T
P x > 0 для всех
n-векторов x с kxk > 0.
В определении 6.1 выражение x
T
P x есть квадратичная форма в терминах
переменных эле м ентов некоторог о (произ в о льног о ) вектора x ∈ R
n
. Н а при-
мер, для размерности n = 3 этого вектора имеем
x
T
P x =
n
P
i,j=1
p(i, j)x
i
x
j
=
= p(1, 1)x
2
1
+ 2p(1, 2)x
1
x
2
+ 2p(1, 3)x
1
x
3
+
+ p(2, 2)x
2
2
+ 2p(2, 3)x
2
x
3
+
+ p(3, 3)x
2
3
.
Этот очевидный способ раскрытия формулы для x
T
P x с правелив и в
общем случае (для любого целого n ≥ 2), — он обобщает формулу квадрата
суммы двух или более чисел.
Свойства ПО матриц
Когда P есть симметрическая матрица, обозначение P > 0 означает, что
P является положительно определенной.
Свойство A. P > 0 тогда и только тогда, когда все собств енные числа
матрицы P положительны.
1
Т. е. P имеет размер (n × n).

Страницы