Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6 Разложения Холесского
Замечание 6.1. Хотя определение 6.2, т. е. формула (6.1), часто
используется, оно не является универсальным. Обобщения заключаются в
отказе от квадратной формы матрицы S или (если она остается квадрат-
ной) в допущении комплексных значений ее элементов. В последнем случае
пишут P = SS
H
, где S
H
обозначает комплексно сопряженную при транс-
понировании матрицу. Ограничения в определении квадратного корня из
матрицы могут заключаться в различных требованиях к ее форме. Напри-
мер, можно требовать симметричности S = S
T
или эрмитовости S = S
H
. В
случае симметричности, т. е. при S = S
T
, квадратный корень из матрицы
P обозначают S
1/2
, т. е. пишут P = SS
1/2
. Если же требов а ть , чтобы S в
(6.1) имела треугольную форму, то в (6.1) приходим к четырем вариантам
разложения Холесского [13, 15].
Определение 6.3. Разложением Холесского принято называть любое
из следующих представлений положительно определенной матрицы P :
P = LL
T
, P =
¯
LD
¯
L
T
, P = UU
T
, P =
¯
UD
¯
U
T
, (6.2)
где L — нижняя тре угольная матрица с положительными элементами на
диагонали, U — верхняя треугольная матрица с положительными элемен-
тами на диагонали,
¯
L — нижняя треугольная матрица с единичными эле-
ментами на диагонали, D — диагональная матрица с положительными эле-
ментами на диагонали,
¯
U — верхняя треугольная матрица с единичными
элементами на диагонали.
Теорема 6.1 (Нижнее треугольное разложение Холесского). Сим-
метрическая матрица P > 0 имеет разложение P = LL
T
, где L — нижняя
треугольная матрица. Это разложение на сомножители с положительными
диагональными элеме нтами в L дается следующим алгоритмом.
Для j = 1, . . . , n − 1 рекуррентно выполнять цикл, образованный следу-
ющим упорядоченным набором выражений:
L(j, j) = P(j, j)
1/2
,
L(k, j) = P (k, j)/L(j, j), k = j + 1, . . . , n ,
P (i, k) := P(i , k) − L(i, j)L(k, j)
(
k = j + 1, . . . , n
i = k, . . . , n
L(n, n) = P (n, n)
1/2
.
Замечание 6.2. Приведенная формулировка алгоритма использует
обозначения э лементов матриц P и L для наглядности. Это не должно со-
здавать впечатления, что данные матрицы хранятся в памяти по отдельно-
сти; наоборот, в лабораторном проекте все приведенные вычисления должны
92

Страницы