Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6.2 Квадратные корни из P и алгоритмы Холесского
проводиться в одном и том же массиве. Это значит, что элементы матрицы P
должны замещаться элементами матрицы L по мере вычисления последних.
Замечание 6.3. Легко видеть, что если L
1
и L
1
суть два различных
варианта ф акториза ции матрицы P > 0, то
L
1
= L
2
diag [±1, . . . , ±1],
т. е. в приведенном алгоритме можно брать L(j, j) = ±P (j, j)
1/2
. Обычно
рекомендуют выбирать единственое решение, отвечающее положительным
диагональным элементам матрицы L.
Внимательное прочтение теоремы 6.1 обнаруживает, что данный алго-
ритм требует вычисления n квадратных корней, что замедляет вычисления.
Этот недостаток устраняется, если пере йти ко второму варианту разложе-
ния Холесского из об щего списка (6.2).
Следствие 6.1 (Нижнее т р еугольное разложение Холесского без опе-
рации квадрат ного корня). Симметрическая матрица P > 0 имеет разло-
жение P =
¯
LD
¯
L
T
, где
¯
L — нижняя треуго льная матрица с единичной диаго-
налью и D = diag (d
1
, . . . , d
n
). Элементы матриц
¯
L и D даются следующим
алгоритмом.
Для j = 1 , . . . , n − 1 рекуррентно выполнять цикл, образованный следу-
ющим упорядоченным набором выражений:
d
j
= P (j, j),
¯
L(j, j) = 1,
P (i, k) := P (i, k) −
¯
L(i, j)P (k, j)
(
k = j + 1, . . . , n
i = k, . . . , n
¯
L(k, j) = P (k, j)/d(j), k = j + 1, . . . , n
d(n) = P (n, n)),
¯
L(n, n) = 1 .
Данный результат легко получается из теоремы 6.1 с ис пользованием обо-
значений d
j
= L(j, j)
2
и
¯
L(i, j) = L(i, j)/L(j, j).
Следующий а налог теоремы 6. 1 формулирует алгоритм третьей версии
разложения Холесского из списка (6.2).
Теорема 6.2 (Верхнее треугольное разложение Холесского). Сим-
метрическая матрица P > 0 имеет разложение P = UU
T
, где U — ве рхняя
треугольная матрица. Это разложение на сомножители с положительными
диагональными элементами в U дается следующим алгоритмом.
93

Страницы