Математическое моделирование автоматизированных систем контроля и управления. Сенкевич А.Ю. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

При этом математическое описание объекта может быть представлено в виде некоторого полинома
– отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная (искомая) зависимость в окрестности основ-
ной точки
0
z :
{}
∑∑ ∑
=
<
==
+β+β+β+β=ϕ=
n
i
n
li
li
n
i
iilliiliin
...zzzzz...zzyM
11;1
2
021
,),,,(
(1)
где
;
0
zz
i
i
z
=
∂
∂ϕ
=β
;
0
2
zz
ii
il
zz
=
∂∂
ϕ∂
=β
0
2
2
2
1
zz
i
il
z
=
∂
ϕ∂
=β
– теоретические коэффициенты модели.
Рис. 1 Схема объекта контроля (управления)
Вследствие наличия неуправляемых и даже неконтролируемых факторов ε (рис. 1) изменение вели-
чины у носит случайный характер, поэтому функциональная зависимость
()
z
ϕ
не дает точной связи ме-
жду управляемыми факторами и откликом у
g
объекта в каждом g-м опыте, а лишь между управляемыми
факторами и математическим ожиданием случайной величины у:
{
}
)(
gg
zyM ϕ=
. (2)
Здесь ),...,,(
21 ngggg
zzzz = – g-я точка пространства независимых управляемых факторов (факторного
пространства). В таком случае по результатам эксперимента можно отыскать уравнение регрессии в
форме некоторого полинома
∑∑ ∑
=
<
==
++++=
n
i
n
li
li
n
i
iiiliiliio
zbzzbzbby
11;1
2
...,
ˆ
(3)
где выборочные коэффициенты регрессии b
0
, b
i
, b
il
, b
ii
, ... являются лишь оценками для теоретических
коэффициентов β
0
, β
i
, β
il
, β
ii
, ... соответственно, а y
ˆ
– оценкой для
{
}
yM .
Для построения линейных и неполных степенных математических моделей применяют полный
факторный эксперимент или дробный факторный эксперимент, обладающие ортогональной матрицей
планирования. Математическое описание поверхности отклика y объекта в окрестности точки базового
(номинального) режима, задаваемого вектором
0
x с реальными (размерными) значениями факторов
),...,,(
02010 n
xxx , можно получить варьированием каждого из факторов x
i
на двух уровнях, отличающихся
от базового уровня x
i0
на величину интервала варьирования ∆x
i
. Интервал варьирования по каждому
управляемому фактору выбирают так, чтобы приращение величины отклика у к базовому значению у
0
при реализации
ii
xx ∆±
0
можно было выделить на фоне "шума" при небольшом числе параллельных
опытов.
Для использования полного и дробного факторного экспериментов необходимо выполнение сле-
дующих основных предпосылок.
1 Результаты наблюдений
1
y ,
2
y , …,
N
y отклика в N точках факторного пространства представ-
ляют собой независимые нормально распределенные случайные величины, т.е. на них воздействуют
нормально распределенные случайные помехи
ε
(рис. 1) с нулевым математическим ожиданием
{}
0=εM .
2 Дисперсии
{}
g
y
2
σ )...,,2,1( Ng = равны. Это означает, что получаемые при проведении многократ-
ных повторных наблюдений над величиной
g
y в точках
g
z выборочные оценки
{}
ys
g
2
однородны, дис-
персия же
{}
g
y
2
σ не зависит от математического ожидания
{
}
g
yM
, т.е. не отличается от дисперсии, полу-

Страницы