ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13
ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Обрабатывая прямые измерения, мы находим их выборочные
средние значения
z
y
x
,
,
…, являющиеся, как было показано выше,
случайными величинами. Очевидно, что и величина
WW =
(
z
y
x
,
,
…), представляющая собой выборочное среднее
искомой функции, будет также случайной величиной. Задача, как и
в случае прямых измерений, состоит в том, чтобы определить, с
какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в
некотором заданном интервале W±ΔW.
В общем случае эта задача весьма сложна, и мы ограничимся
лишь ее приближенным решением.
2
2
2
2
2
2
Z
z
W
Y
y
W
X
x
W
W ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ . (8)
Очень часто бывает удобно вычислить относительную по-
грешность результата косвенного измерения
W
dW
W
=ε .
Если W = W(x) – функция одной переменой, тогда относи-
тельная погрешность определяется как
)(ln Wd
W
dW
W
==ε , (9)
т. е. для нахождения ε
W
необходимо сначала прологарифмировать
выражение W(x), а затем продифференцировать его по х. В случае
многих переменных можно, как и для абсолютных погрешностей,
ввести частные относительные погрешности, равные:
xW
х
x
∆⋅
∂
∂
= lnε ;
yW
х
y
∆⋅
∂
∂
= lnε ; (10)
14
zW
х
z
∆⋅
∂
∂
= lnε .
Тогда общая относительная погрешность определится как
222
zyxW
εεεε ++= . (11)
Расчет погрешности по формулам (10) и (11) особенно удоб-
но производить в случае, когда функция имеет одночленную (ло-
гарифмическую) формулу. Пусть, например,
y
x
AW
4
=
, где А –
константа. Используя правило (10), имеем:
,ylnxlnAlnWln
2
1
4 −+=
y
y
,
x
x
yx
∆
−=
∆
=
2
14
εε ;
2
2
2
2
4
116
y
y
x
x
∆⋅+∆⋅=ε ;
Замечание. Прежде чем сделать расчет по формуле (11),
произведите оценку относительных погрешностей по отдельным
аргументам, вычисленных по формулам (10). Если при этом от-
дельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в
три раза, ими можно пренебречь. В таком случае общая формула
(11) значительно упростится.
Определив относительную погрешность η
W
, можно рассчи-
тать абсолютную погрешность (точность) по формуле:
WW
W
ε=∆ . (12)
ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ ∂
εz = ln W ⋅ ∆z .
∂х
Обрабатывая прямые измерения, мы находим их выборочные Тогда общая относительная погрешность определится как
средние значения x , y , z …, являющиеся, как было показано выше,
случайными величинами. Очевидно, что и величина
ε W = ε x2 + ε y2 + ε z2 . (11)
W = W ( x , y , z …), представляющая собой выборочное среднее Расчет погрешности по формулам (10) и (11) особенно удоб-
но производить в случае, когда функция имеет одночленную (ло-
искомой функции, будет также случайной величиной. Задача, как и
гарифмическую) формулу. Пусть, например, W = A x , где А –
4
в случае прямых измерений, состоит в том, чтобы определить, с
y
какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в
некотором заданном интервале W±ΔW. константа. Используя правило (10), имеем:
В общем случае эта задача весьма сложна, и мы ограничимся ln W = ln A + 4 ln x − 12 ln y ,
лишь ее приближенным решением. 4∆x 1 ∆y
2
εx = , εy = − ;
∂W
2
∂W ∂W
2 x 2 y
∆W = ∆X + ∆Y 2 + ∆Z .
2 2
(8)
∂x ∂y ∂z ε=
16 1
⋅ ∆x 2 + 2 ⋅ ∆y 2 ;
2
Очень часто бывает удобно вычислить относительную по- x 4y
грешность результата косвенного измерения
dW Замечание. Прежде чем сделать расчет по формуле (11),
εW = .
W произведите оценку относительных погрешностей по отдельным
Если W = W(x) – функция одной переменой, тогда относи- аргументам, вычисленных по формулам (10). Если при этом от-
тельная погрешность определяется как дельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в
dW три раза, ими можно пренебречь. В таком случае общая формула
εW = = d (lnW ) , (9) (11) значительно упростится.
W
Определив относительную погрешность ηW, можно рассчи-
т. е. для нахождения εW необходимо сначала прологарифмировать
тать абсолютную погрешность (точность) по формуле:
выражение W(x), а затем продифференцировать его по х. В случае
многих переменных можно, как и для абсолютных погрешностей, ∆W = ε W W . (12)
ввести частные относительные погрешности, равные:
∂
εx = ln W ⋅ ∆x ;
∂х
∂
ε y = ln W ⋅ ∆y ; (10)
∂х
13 14
