Обработка результатов измерения физических величин. Серопян Г.М - 5 стр.

                 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ                                               ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ
                ПОГРЕШНОСТЬ СРЕДНЕГО                                           И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

     Допустим, что мы провели серию n измерений некоторой ве-            Как уже указывалось, для любой конечной выборки x ≠Х.
личины х, результаты которых равны х1, х2,…хn. Наилучшим при-      Практически очень важно оценить возможную величину отклоне-
ближением к истинному значению является величина                   ния среднего значения x от истинного Х, т. е. x –Х. Интервал
                               1 n                                  x ± ΔХ, в который с заданной вероятностью α попадает истинное
                          x=     ∑ xi ,
                               n i =1                              значение Х измеряемой величины, называется доверительным,
называемая средним выборочным значением измеряемой величи-         соответствующим вероятности α. Вероятность α называется также
ны. Если серию по n измерений в каждой повторить m раз, то мы      доверительной вероятностью или надежностью. Величина ΔХ
получим m значений x , несколько отличающихся друг от друга и      характеризует точность оценки. Чем меньше разность x –Х, тем
от истинного значения Х измеряемой величины. Погрешности           выше точность.
                                                                         Надежность, соответствующую заданной точности ΔХ, мож-
∆x k = x k − X являются случайными и, так же как погрешности
                                                                   но вычислить теоретически, воспользовавшись гауссовым распре-
отдельных измерений Δxi = xi – Х, подчиняются гауссову распреде-
                                                                   делением, если известна дисперсия σ x2 . Так как σ x2 = σ2/n, то на-
лению, но с другой дисперсией σ < σ . Величина σ , называе-
                                    2
                                    x
                                                2    2
                                                     x
                                                                   дежность, соответствующая заданной точности ΔХ, растет с ростом
мая дисперсией среднего, является мерой погрешности среднего       числа измерений и величины дополнительного интервала. Если n
значения x , найденного в серии из n измерений. В теории по-       мало, то используют распределение, выведенное Госсетом (псев-
грешности доказывается, что                                        доним «Стьюдент»).
                           σ x2 = σ
                                        2
                                                .          (6)           В распределении Стьюдента плотность распределения
                                            n                      вероятностей    рассматривается   как    функция      величины
      Таким образом, среднеквадратичная погрешность среднего
                                                                        ∆X x − X
результата n измерений в n1/2 раз меньше среднеквадратичной по-    t=      =     ,      называемой      коэффициентом     Стьюдента.
грешности отдельных измерений.                                          Sx   Sx
                                                                   Распределение Стьюдента зависит от n и при n→∞ переходит в
                                                                   распределение Гаусса.
                                                                        Вычислив по результатам измерений S x и задав величину
                                                                   ΔX, можно найти t и α, соответствующие данному n. Или, наобо-
                                                                   рот, задав надежность α, можно вычислить tα,n и соответствующую
                                                                   точность ΔX = tα,n· S x при данном значении n. Соответствующие
                                                                   друг другу значения α и tα,n при разных n приводятся в специаль-
                                                                   ных таблицах (см. приложение 1). На практике задание величины

                                9                                                                  10