Обработка результатов измерения физических величин. Серопян Г.М - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

5
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Если погрешности носят чисто случайный характер, то по
результатам измерений можно оценить вероятности их появления.
Пусть х
1
, х
2
…х
n
– результаты отдельных измерений. Примем, что n
достаточно велико, и при оценке погрешностей будем считать, что
∑
=
==
n
i
i
x
n
xX
1
,
1
(1)
.xxx
ii
−=∆
Определив погрешности ∆x
i
, рассортируем их по величине.
Для этого весь диапазон полученных значений ∆x
i
разобьем на ма-
лые одинаковые интервалы ∆ε и подсчитаем, сколько раз величи-
на ошибки попадает в каждый интервал. Если в интервале номер
«k» оказалось заключено ∆n
k
значений погрешности, то вероят-
ность попадания погрешности в этот интервал
P
k
≅ ∆n
k
/n. (2)
В большинстве случаев распределение погрешностей соот-
ветствует так называемому нормальному закону, найденному Га-
уссом. Согласно гауссову распределению, плотность вероятности y
и величина погрешности ∆x
i
связаны соотношением:
()
πσ2
1
=∆
i
xy
(
)
∆
−
2
2
2
exp
σ
i
x
, (3)
где σ
2
– некоторый постоянный параметр, называемый дисперсией
распределения. Вид кривой распределения, соответствующий не-
которому значению σ, показан на рис. 1.
6
Рис. 1. Кривая распределения Гаусса
вероятности случайных погрешностей
Из формулы
ε∆⋅
∆
=
n
n
y
k
следует, что вероятность P(∆x
k
) того,
что величина погрешности заключена в интервале ∆x
k
÷ ∆x
k
+ ∆ε,
определяется формулой:
P(∆x
k
) = y(∆x
k
)·∆ε.
Численно эта вероятность равна площади черного прямо-
угольника под точкой С с основанием ∆ε (см. рис. 1). Вероятность
того, что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения,
изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основани-
ем 2 ∆x
k
.
На рис. 2 представлены кривые распределения, соответст-
вующие разным σ. Как видно, с ростом σ максимум кривой рас-
пределения понижается, а ее «крылья» поднимаются. Это означает,
что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается, а 
        НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
           СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

      Если погрешности носят чисто случайный характер, то по
результатам измерений можно оценить вероятности их появления.
Пусть х1, х2…хn – результаты отдельных измерений. Примем, что n
достаточно велико, и при оценке погрешностей будем считать, что
                                    1 n
                        X =x=         ∑ xi ,
                                    n i =1
                                                           (1)

                             ∆xi = xi − x .
      Определив погрешности ∆xi, рассортируем их по величине.
Для этого весь диапазон полученных значений ∆xi разобьем на ма-
лые одинаковые интервалы ∆ε и подсчитаем, сколько раз величи-
на ошибки попадает в каждый интервал. Если в интервале номер                    Рис. 1. Кривая распределения Гаусса
«k» оказалось заключено ∆nk значений погрешности, то вероят-                   вероятности случайных погрешностей
ность попадания погрешности в этот интервал
                             Pk ≅ ∆nk/n.                   (2)                           ∆nk
                                                                       Из формулы y =          следует, что вероятность P(∆xk) того,
      В большинстве случаев распределение погрешностей соот-                            n ⋅ ∆ε
ветствует так называемому нормальному закону, найденному Га-      что величина погрешности заключена в интервале ∆xk ÷ ∆xk + ∆ε,
уссом. Согласно гауссову распределению, плотность вероятности y   определяется формулой:
и величина погрешности ∆xi связаны соотношением:
                                                                                        P(∆xk) = y(∆xk)·∆ε.
                               1       (∆x i )   2
                                                      
              y (∆ x i ) =        exp −             ,   (3)          Численно эта вероятность равна площади черного прямо-
                                                      
                                       2σ
                                              2
                             σ 2π                                угольника под точкой С с основанием ∆ε (см. рис. 1). Вероятность
                                                                  того, что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения,
где σ2 – некоторый постоянный параметр, называемый дисперсией     изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основани-
распределения. Вид кривой распределения, соответствующий не-
                                                                  ем 2 ∆xk.
которому значению σ, показан на рис. 1.                                 На рис. 2 представлены кривые распределения, соответст-
                                                                  вующие разным σ. Как видно, с ростом σ максимум кривой рас-
                                                                  пределения понижается, а ее «крылья» поднимаются. Это означает,
                                                                  что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается, а

                                     5                                                           6

Страницы