Составители:
Б. Ортогональные полиномы
Полиномы Эрмита H
n
(x) подчиняются рекуррентному соотношению
H
0
(x) = 1,
H
1
(x) = 2x, (Б.1)
H
n
(x) = 2xH
n−1
(x) − 2(n − 1)H
n−2
(x), для n > 1,
и удовлетворяют соотношению ортогональности
Z
∞
−∞
H
n
(x)H
m
(x) exp(−x
2
)dx = π
1/2
2
n
n!δ
nm
Присоединенные полиномы Лагерра L
a
n
(x) подчиняются рекуррент-
ному соотношению
L
a
0
(x) = 1,
L
a
1
(x) = −x + 1 + a, (Б.2)
L
a
n
(x) =
2n + a − 1 − x
n
L
a
n−1
(x) −
n + a − 1
n
L
a
n−2
(x), для n > 1,
где a > −1 — рациональное число. Они удовлетворяют соотношению
ортогональности
Z
∞
0
L
a
n
(x)L
a
m
(x)x
a
exp(−x)dx =
Γ(a + n + 1)
n!
δ
nm
,
где Γ(a) — гамма-функция, обобщение факториала на случай действи-
тельного и комплексного аргумента.
37
