Математические основы теоретической физики. Серов В.В. - 3 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

3
Введение
Современная теоретическая физика базируется на небольшом наборе основных
принципов: принципы симметрии и относительности, принцип, согласно которому все
должно подчиняться законам квантовой механики, а также вытекающие из теории
относительности соображения о локальном характере физических законов.
Математика позволяет доказать, что в физике, исходя из разных точек зрения, можно
прийти к одним и тем же выводам. Если имеются аксиомы, то вместо них можно
воспользоваться некоторыми теоремами; физические же законы построены таким
образом, что их различные, хотя и эквивалентные формулировки качественно отличаются.
Для примера сформулируем закон тяготения тремя разными способами. Все они
совершенно эквивалентны, но выглядят очень несхоже.
Первая формулировка - это когда силы между телами описываются уравнением Ньютона
0
2
mm
r
FG
rr
=−
r
r
Каждое тело, "узнав", что на него действует сила, ускоряется, т. е. изменяет свое движение
на определенную величину за секунду. Эта формулировка говорит, что сила зависит от
чего-то находящегося на конечном расстоянии. Она обладает так называемым свойством
нелокальности. Сила, действующая на предмет, зависит от того, насколько удален от него
другой предмет.
Но откуда может узнать предмет, что происходит вдалеке? Ну что ж, имеется другой
способ сформулировать закон. Он основан на понятии поля. В каждой точке пространства
имеется число (именно число, а не механизм), и, когда вы переходите с места на место,
это число меняется. Если в какой-то точке пространства поместить предмет, то на него
будет действовать сила в том направлении, в котором быстрее всего изменяется это число
(дадим ему обычное название - потенциал; сила действует в направлении быстрейшего
изменения потенциала).
Далее, сила пропорциональна тому, насколько быстро изменяется потенциал при
перемещении из одной точки в другую. Это только одна часть формулировки, и ее
недостаточно, потому что еще не определено, как именно изменяется потенциал. Можно
было бы сказать, что потенциал изменяется обратно пропорционально расстоянию от
каждого тела, но тогда мы снова вернулись бы к понятию о действии на расстоянии.
Можно сформулировать закон по-другому, сказав: нам не надо знать, что происходит за
пределами маленького шарика. Если необходимо знать, чему равен потенциал в центре,
достаточно выяснить, каков потенциал по соседству с интересующей нас точкой и какова
масса шарика. Правило таково. Потенциал в центре равен среднему потенциалу на
поверхности шарика минус постоянная G, которая была в предыдущем уравнении,
поделенная на удвоенный радиус шарика (обозначим его через а) и умноженная на массу
шарика, если шарик достаточно мал: