Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 159 стр.

        Определение 74
        Функции f и  в пространстве L2 называют взаимно
ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,
то есть
                     f ,   L f ( x) ( x)d  0 .
                                         
      Определение 75
      Систему g n   g1 , g 2 ,..., g n ,...отличных от нуля и
попарно ортогональных функций из L2 называют ортогональной
системой.
      Определение 76
       Ортогональную систему функций:
                             g n   g1 , g 2 ,..., g n ,...
называют нормированной, если g n  1 для всех n.
      Определение 77
      Систему функций               g n   g1 , g 2 ,..., g n ,... называют
ортонормированной, если
                                                         0 при i  k ,
            g i , g k   L  g i x g k x d  
                                                        1 при i  k.

       Примеры ортонормированных систем функций:
       а) тригонометрическая система:
                    1        cos x cos 2 x       sin x sin 2 x
                         ,        ,        ,...,      ,        ,...
                    2                                          
является ортогональной нормированной системой функций
на отрезке   ;  ,
       б) многочлены Лежандра
                          1 d n x2 1
                Pn x   n 
                                                    n  0,1,2,... ,
                                                    n


                         2 n!   dx n
образуют ортогональную систему функций на отрезке  1;1 ,
нормированную ортогональную систему образуют функции:



                                              160