Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 161 стр.

                                         2n  1
                                                Pn x .
                                           2


      Рассмотрим задачу:               Пусть функция f и ортогональная
нормированная система:
                            g n  = 
                              g1 , g2 ,…,gn , … 
       принадлежат пространству L2.
       При заданном n       подобрать коэффициенты                                  k
       
           
 k  1, n  так, чтобы расстояние, в смысле метрики про-
          
                                                        n
странства L2 , между f и суммой S n                   
                                                       k 1
                                                                   k   g k было возмож-
но меньше.
       Решение
       Пусть  f , g k   сk . Учитывая, что система g n  орто-
гональна и нормирована, получим:
                                       n              n
                                                                 
                                 f   k g k , f   k g k  =
                             2
                   f  Sn
                                      k 1           k 1       
                                  n
                                               n            n
                                                                     
             =  f , f   2 f ,  k g k     k g k ,  i g i  
                             k 1            k 1        i 1     
                      n            n                         n             n
                   2 k ck   k2  f                 ck2    k  ck 
              2                                    2                                 2
       = f
                     k 1         k 1                      k 1          k 1
                                .
       Откуда видно, что минимум этого выражения достигает-
ся тогда, когда последнее слагаемое равно нулю, то есть при
                                                         
                                                             
                              k  ck              k  1, n  .
                                                            
       В этом случае имеем:



                                            162