Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 74 стр.

        2.6. Линейные нормированные пространства

        Введем определение нормы.
        Определение 41
        Нормой называют функцию, зависящую от одной пере-
менной и удовлетворяющая трем аксиомам:
    1. аксиома неотрицательности : ||x||≥0 для любой точки x,
        причем ||x||=0 тогда и только тогда, когда х=0;
    2. положительная однородность нормы: || λ∙x|| = |λ |∙ || x||
        для любой точки x и любого действительного числа λ;
    3. неравенство Минковского: ||x+y||≤ ||x||+||y|| для любых
        точек x, y из данного пространства.
        Определение 42
        Линейное пространство называют нормированным про-
странством, если каждой точке x этого пространства поставле-
но в соответствие норма (действительное число ||x||).
        Примеры
        1. Множество действительных чисел R , где в качестве
нормы числа рассматривается его модуль.
        2.Пространство векторов на плоскости (или в простран-
стве) с нормой, равной длине вектора.
     Теорема 20 (о связи между метрикой и нормой).
        В любом линейном нормированном пространстве мож-
но ввести метрику следующим образом:
                                 ρ(х,у) = ||x - y||
        Доказательство
        Доказательство теоремы сводят к проверке выполнения
каждой аксиомы метрического пространства.
        Выполнение первой аксиомы метрического пространства
следует из первой аксиомы нормированного пространства.
        Выполнение второй аксиомы также очевидно, так как:
             ρ(х,у) = ||x - y|| = ||(-1)⋅(-x+ y)|| =|-1|⋅ ||у - х||=
                        = 1⋅ ||у - х|| = ||y - х||= ρ(у,х)
        Выполнение третьей аксиомы метрического пространст-
ва следует из неравенства Минковского:
              ρ(х,у) = ||x - y|| = ||x +0 - y|| =||x+(-z+z) - y|| =
                   = ||(х-z)+(z- y)|| ≤ ||х -z||+ ||z-у|| = ρ(х,z)+ ρ(z,у),


                                        75