Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 76 стр.

то есть ρ(х,у) ≤ ρ(х,z)+ ρ(z,у).
       Замечание. Обратное утверждение неверно. Не в любом
метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку по-
нятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метри-
ческое пространство может не быть линейным пространством.

        Далее рассмотрим множество L - некоторое множест-
во объектов произвольной природы рассматриваемое на мно-
жестве действительных чисел. Эти объекты будем называть
точками пространства L .
        Определение 43
        Множество L называют линейным пространством, если
на нем определены две операции:
        1) операция сложения любых двух точек этого простран-
ства: каждой паре точек x, y из этого пространства поставлена в
соответствие точка z этого пространства, которую называют
суммой точек x и y (обозначение: z = x + y);
        2) операция умножения точек данного пространства на
число β из множества действительных чисел: каждой точке x из
L и каждому числу поставлена в соответствие точка z из L, ко-
торую называют произведением числа β и точки x (обозначе-
ние z = =β∙х), причем эти операции удовлетворяют следую-
щим восьми свойствам в заданном пространстве, то есть
1. х + у = у + х для любых точек х, у∈ L;
2. х + (у + z) =(х + у) + z для любых точек х, у, z∈ L;
3. существует нуль пространства θ∈L, такой, что х + θ = х
    для любой точки х∈ L;
4. для каждой х∈ L существует "противоположная" ей точка
    (-х)∈ L, такая, что х + (-х)=θ;
5. для каждой х∈ L существует "единственная" точка
     (1)∈ L, такая, что 1∙х = х;
6. α∙(β∙х) = (α∙β)∙х для любой точки х∈L и любых чисел α,β∈R;
7. (α+β)∙х = α∙х+β∙х для любой точки х∈L и любых чисел
    α,β∈R;
8. α∙(х+у) = α∙х+α∙у для любой точки х, у∈L и любых чисел
    α∈R.



                                 77