Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 78 стр.

       Приведем примеры линейных пространств
       1. Линейное пространство векторов на плоскости (или в
трехмерном пространстве) с обычными операциями сложения
векторов и умножения вектора на действительное число. Нулем
пространства является нулевой вектор.
       2. Линейное пространство всевозможных последова-
тельностей действительных чисел с операциями сложения и
умножения на число, где нуль пространства – последователь-
ность
                               (0, 0, ..., 0, ...).
       3. Линейное пространство функций, непрерывных на
данном отрезке [a;b] обычными операциями сложения функций
и умножения функции на действительное число, где нуль про-
странства – функция f(x)=0.
       Определение 44
       Пространство называют линейным нормированным про-
странством, если оно является линейным и нормированным
одновременно.
       Рассмотрим некоторые свойства линейных нормиро-
ванных пространств.
       1. Норма точки нормированного пространства явля-
ется метрикой между нулем пространства и данной точкой.
       Доказательство
       Пусть у=0, тогда в формуле
                              ρ(х,у) = ||x - y||
       из теоремы о связи метрики нормы следует
                           ρ(х,0) = ||x -0|| =||x||.
       2 . Справедливо утверждение:
                            ρ( х, у) = | |∙ρ(х,у)
       Доказательство
        ρ( х, у) = || x - y||= || (x – y)||= | |⋅ ||х-у||=| |∙ρ(х,у)
       3. Справедливо утверждение:
                            ρ(х+z,у+z) = ρ(х,у)
       Доказательство
       ρ(х+z,у+z) =||(x+z) –(y+z)||= ||x +z- y-z||=||x-y|| = ρ(х,у)




                                    79