Физика (Термодинамика и статистическая физика). Шелкунов Н.Г - 16 стр.

                                           3             Ek                              Пример 9. Определить массу воздуха в цилиндре с
                            1  2 1 2 − kT
              f ( E ) = 2π          E e            (1)                          основанием ∆S=1 м2 и высотой h=1 км. Считать, что воздух
                            π ⋅ kT                                              находится при нормальных условиях.
        Задача сводится к нахождению экстремума функции                                  Решение. Распределение Больцмана для одномерно-
f(E).                                                                             го случая имеет вид
      Определим первую производную g’(E) и приравняем                                                          mg −U ( x ) kT
ее нулю, получим                                                                                    dω ( x) =       e         dx
                                                                                                                kT
                                                                                  Число молекул dN в слое воздуха толщиной dx на высоте х
                                                                                  от поверхности Земли
                                                                                                               Nmg −mgx kT
                                                                                                    dN ( x) =         e        dx
                                                                                                                kT
                                                                                  Проинтегрировав dN(x) по х в пределах от 0 до h, найдем
                                                                                  полное число молекул в данном цилиндре
                                                                                            h
                                                                                       Nmg − mgh kT                − mgh           
                                                                                                                         kT  = ∆Sp0  1 − e
                                                                                                                                             − mgh 

                                                                                        kT ∫0
                                                                                  N=          e     dx =  N  1 − e                               kT 
                                                                                                                               mg                 
                                       3                       E'                 Умножив N на массу одной молекулы, получим искомую
                              1          2    1   1 −                         массу
              f ' ( E ) = 2π                 E 2  −  e kT +
                              πkT                 kT                                            ∆S ⋅ p0       − mgh 

                           3
                                                                            (2)                 m=          1 − e      kT  ,
                                                    Ek                                                g                   
                1  1         2       −1       −
           +2π          E 2e     =0               kT
                πkT  2
                                                                                                5                       5
Отсюда Ев=kT/2 (3) температуру найдем из уравнения                                         10     ⋅1         mgh  10          Mgh 
                                                                                  m=                 1 − exp      =   1 − exp −    =
Менделеева-Клайперона                                                                          9,8           kT  9,8          RT 
                              pVµ
                         T=                     (4)                                                              −3
                                                                                                                                             (               ) ≅ 10 3 кг
                                                                                           5                                  3
                             (mR)                                                     10                 29 ⋅ 10     ⋅ 9,8 ⋅ 10        4            −0,13
                                                                                  =             1 − exp                          ≈ 10     ⋅ 1− e
     Подставим (4) в (3) и получим                                                    9,8                      8,3 ⋅ 273        
                                   5                −3        −3
      k ⋅ pVµ    pVµ    3 ⋅ 10 ⋅ 30 ⋅ 10 ⋅ 32 ⋅ 10
Eв =          =       =                                            =16⋅10-22Дж=
       2mR      2mN A        2 ⋅ 10−1 ⋅ 6,02 ⋅ 1023                                     Пример 10.
   =1,6⋅10-21 Дж.                                                                       Кислород, масса которого m=20 г, нагревают от
                                                                                  температуры t1=270C до t2=1270С. Найти изменение
                                                                                  энтропии, если известно что начальное и конечное давление
                                                                                  одинаковы и близки к атмосферному.