Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

4
1 Числовые последовательности
1.1 Числовые последовательности и арифметические действия над
ними
Числовые последовательности изучают уже в средней школе. Примера-
ми таких последовательностей могут служить: 1) натуральный ряд N;
2) последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрес-
сии; 3) последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в
данную окружность; 4) последовательность х
1
=1, х
2
=1.4, х
3
=1.41,… приближен-
ных значений
2 .
Уточним понятие числовой последовательности.
Определение: Если каждому числу п из натурального ряда чисел
1,2,3,…,…п поставлено в соответствие вещественное число х
п
, то множество
вещественных чисел
х
1
, х
2
, х
3,…,
х
п
,… (1)
называется числовой последовательностью или просто последовательно-
стью.
Числа х
1
, х
2
, х
3, …,
х
п
,… называются элементами (или членами) последо-
вательности (1), символ х
п
- общим элементом (или членом) последовательно-
сти, а число п – его номером. Сокращенно последовательность (1) обозначается
символом
{}
n
x . Так, например, символ
n
1
обозначает последовательность 1,
n
1
,...,
3
1
,
2
1
,….
Последовательность считается заданной, если указан способ получения
любого её элемента. Например, формула
(
)
n
n
x 11 −+= задает последователь-
ность: 0,2, 0,2,… Обращая дробь
3
1
в десятичную и оставляя один, два, три и
т.д. знака после запятой, получаем последовательность
,...3...333,0,..;333,0;33,0;3,0
321
=
===
n
xxxx
По определению последовательность содержит бесконечное число эле-
ментов: любые два её элемента отличаются, по крайней мере, своими номера-
ми.
Пример 1.
Написать пять первых элементов каждой из последовательностей, за-
данных их общими элементами: а)
12
1
+
=
n
x
n
; б)
1
2
+
=
n
n
n
x
; в)
n
n
x
n
)2/sin(
π
= .
Р е ш е н и е. а)
{}
;...
11
1
;
9
1
;
7
1
;
5
1
;
3
1
:
n
x 
        1 Числовые последовательности

        1.1 Числовые последовательности и арифметические действия над
ними

       Числовые последовательности изучают уже в средней школе. Примера-
ми таких последовательностей могут служить: 1) натуральный ряд N;
2) последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрес-
сии; 3) последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в
данную окружность; 4) последовательность х1=1, х2=1.4, х3=1.41,… приближен-
ных значений 2 .
       Уточним понятие числовой последовательности.
       Определение: Если каждому числу п из натурального ряда чисел
1,2,3,…,…п поставлено в соответствие вещественное число хп, то множество
вещественных чисел
                               х1, х2, х3,…,хп,…                        (1)

        называется числовой последовательностью или просто последовательно-
стью.
        Числа х1, х2, х3, …,хп,… называются элементами (или членами) последо-
вательности (1), символ хп - общим элементом (или членом) последовательно-
сти, а число п – его номером. Сокращенно последовательность (1) обозначается
                                                1 
символом {x n }. Так, например, символ   обозначает последовательность 1,
                                                n 
1 1      1
  , ,..., ,….
2 3      n
        Последовательность считается заданной, если указан способ получения
любого её элемента. Например, формула x n = 1 + (− 1)n задает последователь-
                                        1
ность: 0,2, 0,2,… Обращая дробь            в десятичную и оставляя один, два, три и
                                        3
т.д. знака после запятой, получаем последовательность
         x1 = 0,3; x 2 = 0,33; x3 = 0,333,..; x n = 0,333...3,...
        По определению последовательность содержит бесконечное число эле-
ментов: любые два её элемента отличаются, по крайней мере, своими номера-
ми.
        Пример 1.
        Написать пять первых элементов каждой из последовательностей, за-
                                                  1                 n            sin(πn / 2)
данных их общими элементами: а) x n =                 ; б) x n = n +1 ; в) x n =             .
                                               2n + 1             2                  n
                                 1 1 1 1 1
        Р е ш е н и е. а) {x n }: ; ; ; ; ;...
                                 3 5 7 9 11


4

Страницы