Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

6
частным – последовательность ,...,,..,,
2
2
1
1
n
n
y
x
y
x
y
x
если все члены
последовательности
{
}
n
у отличны от нуля.
Указанные действия над последовательностями символически записываются
так:
{}
{
}{ }
{
}
{
}
{
}
{
}
{}{}{}{}
{}
{}
.,0,,,
,,
Nny
y
x
y
x
yxyxyx
yxyxyxmxxm
n
n
n
n
n
nnnnnn
nnnnnnnn
∈≠∀
==⋅−=
=
−
+
=
+=
0≠∀
n
y означает, что значения
n
y отличны от нуля при любом .n
1.2 Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение: Последовательность
{
}
n
x называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число М (число т) такое, что любой элемент х
п
этой
последовательности удовлетворяет неравенству
(
)
mxMx
nn
≥
≤
.
Определение: Последовательность
{
}
n
x называется ограниченной, если
она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа т и М такие, что любой
элемент x
n
этой последовательности удовлетворяет неравенствам Mxт
n
≤
≤ .
Пусть
{
}
MmA ,max= . Тогда условие ограниченности последователь-
ности можно записать в виде
Ax
n
≤
.
Определение: Последовательность
{
}
n
x называется неограниченной, ес-
ли для любого положительного числа А существует элемент х
п
этой последова-
тельности, удовлетворяющий неравенству
Ax
n
> (т.е. либо х
п
>A, либо х
п
<-A).
Из данных определений следует, что если последовательность ограни-
чена сверху, то все её элементы принадлежат промежутку
(
]
M,∞− ; если она
ограничена снизу – промежутку
[
)
,,
+
∞m а если ограничена и сверху и снизу –
промежутку [m, M]. Неограниченная последовательность может быть ограни-
чена сверху (снизу).
Примеры ограниченных и неограниченных последовательностей:
а) последовательность 1, 2, 3,….,п,… ограничена снизу, но не ограниче-
на сверху;
б) последовательность -1, -2, -3,….,-п,… ограничена сверху, но не огра-
ничена снизу;
в) последовательность 1, 1/2, 1/3,….,1/п,… ограничена, так как любой
элемент х
п
этой последовательности удовлетворяет неравенствам
()
;1,010 ==≤≤ Мтх
п
г) последовательность -1, 2, -3, 4, -5,….,(-1)
п
п,… – неограниченная. В са-
мом деле, каково бы ни было число А, среди элементов х
п
этой последователь-
ности, найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство
Aх
п
> . 
                                                      x1 x 2  x
       частным     –   последовательность               , ,.., n ,..., если        все    члены
                                                      y1 y 2  yn
последовательности {у n } отличны от нуля.
Указанные действия над последовательностями символически записываются
так:
           m{xn } = {mxn }, {xn } + {yn } = {xn + yn }, {xn } − {yn } =

                   = {xn − yn }, {xn }⋅ {yn } = {xn yn },
                                                            {xn } =  xn , ∀y ≠ 0, n ∈ N .
                                                            {yn }  yn  n
       ∀y n ≠ 0 означает, что значения y n отличны от нуля при любом n.

      1.2 Ограниченные и неограниченные последовательности

       Определение: Последовательность {x n } называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число М (число т) такое, что любой элемент хп этой
последовательности удовлетворяет неравенству x n ≤ M ( x n ≥ m ) .
       Определение: Последовательность {x n } называется ограниченной, если
она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа т и М такие, что любой
элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам т ≤ x n ≤ M .
       Пусть A = max{m , M }. Тогда условие ограниченности последователь-
ности можно записать в виде x n ≤ A .
        Определение: Последовательность {x n } называется неограниченной, ес-
ли для любого положительного числа А существует элемент хп этой последова-
тельности, удовлетворяющий неравенству x n > A (т.е. либо хп>A, либо хп<-A).
        Из данных определений следует, что если последовательность ограни-
чена сверху, то все её элементы принадлежат промежутку (− ∞, M ]; если она
ограничена снизу – промежутку [m,+∞ ), а если ограничена и сверху и снизу –
промежутку [m, M]. Неограниченная последовательность может быть ограни-
чена сверху (снизу).
Примеры ограниченных и неограниченных последовательностей:
        а) последовательность 1, 2, 3,….,п,… ограничена снизу, но не ограниче-
на сверху;
        б) последовательность -1, -2, -3,….,-п,… ограничена сверху, но не огра-
ничена снизу;
        в) последовательность 1, 1/2, 1/3,….,1/п,… ограничена, так как любой
элемент      хп    этой    последовательности       удовлетворяет    неравенствам
0 ≤ х п ≤ 1(т = 0, М = 1);
        г) последовательность -1, 2, -3, 4, -5,….,(-1)пп,… – неограниченная. В са-
мом деле, каково бы ни было число А, среди элементов хп этой последователь-
ности, найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство
 хп > A .

6

Страницы