Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 7 стр.

       С помощью логических символов данные выше определения можно за-
писать следующим образом:
       последовательность {х п } ограничена сверху, если (∃М )(∀х п ) : х п ≤ М ;
       последовательность {х п } ограничена снизу, если (∃т )(∀х п ) : х п ≥ т;
       последовательность {х п } ограничена, если (∃А > 0 )(∀х п ) : х п ≤ A;
       последовательность {х п } не ограничена, если (∀A > 0 )(∃х п ) : х п > A.
       Сравнивая запись с помощью логических символов двух последних оп-
ределений, видим, что при построении отрицаний символы ∃ и ∀ заменяют
друг друга.
       Пример 3.
       Какие из последовательностей являются ограниченными:
                  1       1 1            1 1            (−1) n
       а) − 1;      ; − ;         ; − ;           ;...;        ;...;
                  2       3 4            5 6              n
       б) 2; 4; 6; 8; 10; 12;...;2n;...;
       в) sin 1; sin 2; sin 3; sin 4; ...; sin n ;…;
         г) 1; − 2; 3; − 4; 5; − 6; 7;...; (−1) n +1 n;... .
         Р е ш е н и е. а) Ограничена (−1 ≤ x n ≤ 1 / 2). б) Не ограничена.
                           в) Ограничена ( sin n ≤ 1).       г) Не ограничена.

       1.3 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

       Определение: Последовательность {х п }называется бесконечно большой,
если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при
n>N выполняется неравенство х п > A .
        «При n>N» означает: «для всех элементов последовательности с номе-
рами n>N».
       Символическая запись определения бесконечно большой последова-
тельности имеет вид:
                          (∀A > 0)(∃N )(∀n > N ) : х п > A.
     Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последователь-
ность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность
может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последова-
тельность 1, 2, 1, 3,..,1, п, 1, п+1,…не является бесконечно большой, поскольку
при A>1 неравенство х п > A выполняется не для всех элементов хп с нечетны-
ми номерами.
      Примеры бесконечно больших последовательностей:
                                                                      { }
      а) {x n } = {− n} : −1,−2,−3,−4,−5,...,− n,...; б) {x n } = n 2 : 1, 4, 9, 16, 25,..., n 2 ,...;
                    {
        в) {x n } = (−1)   n +1
                                    }
                                  ⋅ n : 1, − 2, 3,−4, 5,... .


                                                                                                    7