Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 9 стр.

               1 1 1 1 1
       k = 2 :  2  : 1, , , , ,...;
                n  4 9 16 25
               3  1          1   1       1
       k=        :        : 1,   ,     ,     ,.. ..
               2  n 3         8 27 64
              2n  2 4 6 8
         в)           : , , ,         ,... .
              n 2 + 1  2 5 10 26
         Пример 7. Используя определение бесконечно малой последовательно-
сти, докажем, что последовательность {1/n} является бесконечно малой.
         Возьмем любое число ε > 0. Из неравенства α n = 1 / n < ε получаем
n>1/ ε. Если взять N = [1/ ε], то для всех n > N будет выполняться неравенство
n ≥ [1 / ε] + 1 > 1 / ε , откуда 1 / n = α n < ε . Таким образом, согласно определению
2 последовательность {1/n} является бесконечно малой.
         Между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательно-
стями существует связь. Она выражается в следующем.
         Теорема 1. Если {хп} – бесконечно большая последовательность, и все
                                                            1
её члены отличны от нуля, то последовательность   – бесконечно малая, и,
                                                             хп 
обратно, если {αп} – бесконечно малая последовательность и α п ≠ 0 , то после-
               1 
довательность   - бесконечно большая.
              α п 
      Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {хп} – бесконечно большая последова-
                                                 1
тельность. Возьмем любое ε > 0 и положим A = . Согласно определению бес-
                                                 ε
конечно большой последовательности для этого А существует номер N такой,
что при n >N будет х п > A . Отсюда получаем, что 1 = 1 < 1 = ε для всех
                                                         xn     xn    A
                                           1 
n >N. А это значит, что последовательность   – бесконечно малая.
                                            хп 
       Доказательство второй части теоремы проводится аналогично. Что и
требовалось доказать (ч.т.д).

      1.4 Основные свойства бесконечно малых последовательностей

       Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательно-
стей есть бесконечно малые последовательности.
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {αп} и {βп} – бесконечно малые после-
довательности. Требуется доказать, что последовательность {α п ± β п }
– бесконечно малая. Пусть ε – произвольное положительное число, N1 – номер,
                            ε                                         ε
начиная с которого α п < , а N2 – номер, начиная с которого β п < . (Такие
                            2                                         2
                                                                                    9