Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

8
Пример 4. Используя определение, докажем, что последовательность
{n} является бесконечно большой.
Возьмем любое число A>0. Из неравенства
Anx
n
>
=
получаем n > A.
Если взять
A
N
≥ , то для всех n > N будет выполняться неравенство Ax
n
> ,
т.е. согласно определению последовательность {n} – бесконечно большая.
Пример 5. Доказать, что последовательность
{
}
{
}
2
nx
n
= является бес-
конечно большой.
Р е ш е н и е. Возьмём любое число .0>
A
Из неравенства ,
2
Anx
n
>=
получаем ,
2
An > т. е. .
A
n > Если взять
[
]
,AN = то для всех
N
n > будет
выполняться неравенство
,Ax
n
> т.е. ,
2
An > т.е. согласно определению бес-
конечно большой последовательности
{
}
{
}
−=
2
nx
n
бесконечно большая.
Замечание: Символ
[]
/1 означает целую часть числа
ε
1
, т. е. наи-
большее целое число, не превосходящее х.
Пример 6. Доказать, что последовательность
{
}
{
}
n
n
x 3= является бес-
конечно большой.
Р е ш е н и е. Возьмём любое число .0>
A
Для того, чтобы найти номер
,
N
необходимо решить неравенство .33 Ax
nn
n
>== Логарифмируем обе
его части, получаем ,lg3lg
A
n > откуда .
3lg
lg A
n > Если взять ,
3lg
lg
=
A
N то для
всех ,
N
n > выполняется неравенство ,Ax
n
> т.е. последовательность
{
}
n
3 яв-
ляется бесконечно большой последовательностью.
Определение: Последовательность
{
}
п
α
называется бесконечно малой,
если для любого положительного числа
существует номер N такой, что при
n > N выполняется неравенство
<
α
n
.
Символическая запись определения бесконечно малой последовательно-
сти имеет вид:
()
(
)
(
)
<
α
>
∀
∃
>ε∀
n
NnN :0
Примеры бесконечно малых последовательностей:
а)
,...;
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1:
)1(
−−−
−
n
n
б)
).0(
1
>
k
n
k
Например, 
       Пример 4. Используя определение, докажем, что последовательность
{n} является бесконечно большой.
       Возьмем любое число A>0. Из неравенства x n = n > A получаем n > A.
Если взять N ≥ A , то для всех n > N будет выполняться неравенство x n > A ,
т.е. согласно определению последовательность {n} – бесконечно большая.
                                                                { }
        Пример 5. Доказать, что последовательность {x n } = n 2 является бес-
конечно большой.
        Р е ш е н и е. Возьмём любое число A > 0. Из неравенства x n = n 2 > A,
                                                   [ ]
получаем n 2 > A, т. е. n > A. Если взять N = A , то для всех n > N будет
выполняться неравенство x n > A, т.е. n 2 > A, т.е. согласно определению бес-
                                                { }
конечно большой последовательности {x n } = n 2 − бесконечно большая.
                                                                1
      Замечание: Символ [1 / ε] означает целую часть числа , т. е. наи-
                                                                      ε
большее целое число, не превосходящее х.

                                                                { }
      Пример 6. Доказать, что последовательность {x n } = 3 n является бес-
конечно большой.

       Р е ш е н и е. Возьмём любое число A > 0. Для того, чтобы найти номер
N , необходимо решить неравенство x n = 3 n = 3 n > A. Логарифмируем обе
                                             lg A                    lg A 
его части, получаем n lg 3 > lg A, откуда n >      . Если взять N =       , то для
                                              lg 3                   lg 3 
                                                                            { }
всех n > N , выполняется неравенство x n > A, т.е. последовательность 3 n яв-
ляется бесконечно большой последовательностью.
       Определение: Последовательность {α п } называется бесконечно малой,
если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при
n > N выполняется неравенство α n < ε .
       Символическая запись определения бесконечно малой последовательно-
сти имеет вид:
                            (∀ε > 0 )(∃N )(∀n > N ) : α n < ε
       Примеры бесконечно малых последовательностей:
           (−1) n       1 1 1 1
       а)            : −1, ,− , ,− ,...;
            n           2 3 4 5
           1 
        б)  k  (k > 0). Например,
           n 


8

Страницы