Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 10 стр.

номера N1 и N2 найдутся по определению бесконечно малой последовательно-
сти.) Возьмем N = max{N1 , N 2 }; тогда при n > N будут одновременно выпол-
                               ε        ε
няться два неравенства: α п < , β п < . Следовательно, при n > N
                               2       2
                                                 ε ε
                            α п ± βп ≤ α п + βп < + = ε
                                                 2 2
       Это значит, что последовательность {α п ± β п } бесконечно малая. Ч.т.д.
       Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
       Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {αп} и {βп} – бесконечно малые после-
довательности.     Требуется     доказать,    что    последовательность {α п ⋅ β п }
– бесконечно малая. Так как последовательность {αп} бесконечно малая, то для
любого ε > 0 существует номер N1 такой, что α п < ε при n > N1, а так как {βп}
– также бесконечно малая последовательность, то для ε =1 существует номер N2
такой, что β п < 1 при n > N2. Возьмем N = max{N1 , N 2 }; тогда при n > N бу-
дут выполняться оба неравенства. Следовательно, при n > N

                                α п ⋅ βп = α п ⋅ βп < ε ⋅1 = ε

           Это означает, что последовательность {α п ⋅ β п } бесконечно малая. Ч.т.д.
          Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
          Замечание: Частное двух бесконечно малых последовательностей может
не быть бесконечно малой последовательностью и может даже не иметь смыс-
ла. Например, если αп=1/п, βп=1/п, то все элементы {α п / β п } равны единице и
данная последовательность является ограниченной. Если αп=1/п, βп=1/п2, то по-
следовательность {α п / β п } бесконечно большая, а если αп=1/п2, βп=1/п, то –
бесконечно малая. Если, начиная с некоторого номера, элементы {βп} равны
нулю, то {α п / β п } не имеет смысла.
          Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на беско-
нечно малую есть бесконечно малая последовательность.
          Д о к а з а т е ль с т в о: Пусть {хп} – ограниченная, а {αп} – бесконечно
малая последовательности. Требуется доказать, что последовательность
{х п ⋅ α п } бесконечно малая. Так как последовательность {хп} ограничена, то
существует число A>0 такое, что любой элемент хп удовлетворяет неравенству
 x n ≤ A . Возьмем любое ε > 0. Поскольку последовательность {αп}




10