Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

12
2 Сходящиеся последовательности
2.1 Понятие сходящейся последовательности
Определение:
Число а называется пределом последовательности {х
п
},
если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при
n>N выполняется неравенство
ε
<
−
ax
n
. (2)
С помощью логических символов это определение можно записать в ви-
де
()
(
)
(
)
ε
<
−
>
∀
∃
>ε∀ axNnN
n
:0.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Если последовательность {x
n
} сходится и имеет своим пределом число а,
то символически это записывается так:
ax
n
п
=
∞→
lim
или ax
n
→ при
∞
→n (3)
(limes (лат.) – предел).
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходя-
щейся.
Пример 8. Используя определение предела последовательности, дока-
жем, что
1
1
lim =
+
∞→
n
n
n
.
Возьмем любое число ε > 0. Так как
1
1
1
1
1
+
=−
+
=−
nn
n
x
n
, то для
нахождения значений п, удовлетворяющих неравенству
ε<−1
n
x , достаточно
решить неравенство
()
ε<+1/1 n , откуда получаем
(
)
ε
ε
−
> /1n . Следовательно,
в качестве N можно взять целую часть числа
(
)
ε
ε
−
/1, т.е.
()
[]
εε−= /1N . Тогда
неравенство
ε<−1
n
x будет выполняться при всех n >N. Этим и доказано, что
1
1
lim =
+
∞→
n
n
n
.
Пример 9. Известно, что .2
1
32
lim =
+
+
∞→
n
n
n
Найти номер
,
N
начиная с ко-
торого выполняется неравенство
,2
1
32
ε<−
+
+
n
n
где .001,0;01,0;1,0
=
ε
Р е ш е н и е. 
      2 Сходящиеся последовательности

      2.1 Понятие сходящейся последовательности

       Определение: Число а называется пределом последовательности {хп},
если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при
n>N выполняется неравенство
                             xn − a < ε .                            (2)

       С помощью логических символов это определение можно записать в ви-
де
                                (∀ε > 0 )(∃N )(∀n > N ) : xn − a < ε .
       Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
       Если последовательность {xn} сходится и имеет своим пределом число а,
то символически это записывается так:

                         lim x n = a или xn → a при n → ∞                           (3)
                         п →∞
        (limes (лат.) – предел).
      Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходя-
щейся.
       Пример 8. Используя определение предела последовательности, дока-
                 n
жем, что lim         = 1.
           n→∞ n + 1
                                                                n           1
       Возьмем любое число ε > 0. Так как xn − 1 =                 −1 =         , то для
                                                              n +1        n +1
нахождения значений п, удовлетворяющих неравенству xn − 1 < ε , достаточно
решить неравенство 1 / (n + 1) < ε , откуда получаем n > (1 − ε ) / ε . Следовательно,
в качестве N можно взять целую часть числа (1 − ε ) / ε , т.е. N = [(1 − ε ) / ε] . Тогда
неравенство xn − 1 < ε будет выполняться при всех n >N. Этим и доказано, что
      n
 lim       = 1.
n→∞ n + 1
                                          2n + 3
       Пример 9. Известно, что lim               = 2. Найти номер N , начиная с ко-
                                     n →∞ n + 1
                                     2n + 3
торого выполняется неравенство              − 2 < ε, где ε = 0,1; 0,01; 0,001.
                                       n +1
       Р е ш е н и е.




12

Страницы