Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

13
Решим неравенство ε<
+
=
+
+−+
ε<−
+
+
1
1
1
)1(232
;2
1
32
nn
nn
n
n
. Данное
неравенство выполняется при
.1
1
−
ε
=> Nn При
1,0
=
ε
неравенство вы-
полняется, начиная с .10=
N
При
01,0
=
ε
– начиная с .100
=
N
При
001,0
=
ε
– начиная с .1000=
N
Пример 10. Доказать, что
.
3
1
423
2
lim
2
2
=
−
+
+−
∞→
nn
nn
n
Р е ш е н и е. Возьмём любое число .0>
ε
Найдём номер
N
, начиная с
которого при
N
n > .
3
1
423
2
2
2
ε<−
−+
+−
nn
nn
Необходимо решить последнее
неравенство:
.
2
3
5
)43(3
5
)423(3
105
)423(3
)423()2(3
3
1
423
2
2
222
22
2
2
n
n
n
n
n
nn
n
nn
nnnn
nn
nn
<<
−
<
−+
+−
=
−+
−+−+−
=−
−+
+−
Поэтому если уже (2/n)<ε, то и подавно будет выполняться неравенство
.
3
1
423
2
2
2
ε<−
−+
+−
nn
nn
Следовательно, для нахождения значений
,n
удовлетво-
ряющих неравенству
,
3
1
ε<−
n
x достаточно решить неравенство ,
2
ε<
n
откуда
.
2
ε
>n Если взять N= ,
2
ε
то для всех
N
n > будет выполняться ,
3
1
ε<−
n
x т. е.
.
3
1
423
2
lim
2
2
=
−+
+−
∞→
nn
nn
n
Замечание 1. Пусть последовательность {x
n
} имеет своим пределом число
а. Тогда {α
n
}={x
n
– a} является бесконечно малой последовательностью, так как
для любого ε > 0 существует номер N такой, что при n >N выполняется нера-
венство
ε<−=α ax
nn
. Следовательно, любой элемент х
п
последовательно-
сти, имеющей пределом число а, можно представить в виде
,
nn
ax
α
+
=
(4)
где α
n
– элемент бесконечно малой последовательности {α
n
}. Очевидно, спра-
ведливо и обратное: если x
n
можно представить в виде x
n
=а+ α
n
, где {α
n
} - бес-
                             2n + 3             2n + 3 − 2(n + 1)     1
            Решим неравенство       − 2 < ε;                      =       < ε . Данное
                              n +1                    n +1          n +1
                                            1 
неравенство выполняется при n > N =  − 1. При ε = 0,1 неравенство вы-
                                            ε 
полняется, начиная с N = 10. При ε = 0,01 – начиная с N = 100. При ε = 0,001
– начиная с N = 1000.
                                         n2 − n + 2     1
        Пример 10. Доказать, что lim 2                = .
                                   n→∞ 3n + 2n − 4       3
        Р е ш е н и е. Возьмём любое число ε > 0. Найдём номер N , начиная с
                           n2 − n + 2    1
которого при n > N                     −    < ε. Необходимо решить последнее
                         3n 2 + 2n − 4 3
неравенство:
  n2 − n + 2    1 3(n 2 − n + 2) − (3n 2 + 2n − 4)        − 5n + 10           5n
              −  =                                 =                    <
 3n 2 + 2n − 4 3          3(3n 2 + 2n − 4)            3(3n 2 + 2n − 4) 3(3n 2 − 4)
    5n          2
<           <     .
    3n 2        n


Поэтому если уже (2/n)<ε, то и подавно будет выполняться неравенство
 n2 − n + 2    1
             −   < ε. Следовательно, для нахождения значений n, удовлетво-
3n 2 + 2n − 4 3
                             1                                     2
ряющих неравенству x n −       < ε, достаточно решить неравенство < ε, откуда
                             3                                     n
   2                2                                              1
n > . Если взять N=  ,    то для всех n > N будет выполняться x n − < ε, т. е.
   ε                ε                                              3
           n2 − n + 2
                    1
lim               =   .
n→∞ 3n 2 + 2n − 4   3

      Замечание 1. Пусть последовательность {xn} имеет своим пределом число
а. Тогда {αn}={xn – a} является бесконечно малой последовательностью, так как
для любого ε > 0 существует номер N такой, что при n >N выполняется нера-
венство α n = xn − a < ε . Следовательно, любой элемент хп последовательно-
сти, имеющей пределом число а, можно представить в виде

                                 xn = a + α n ,                                   (4)

где αn – элемент бесконечно малой последовательности {αn}. Очевидно, спра-
ведливо и обратное: если xn можно представить в виде xn=а+ αn , где {αn} - бес-


                                                                                   13

Страницы