Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

15
в)
.)1(lim ±∞=−
∞→
n
n
n
Замечание 4. Очевидно, всякая бесконечно малая последовательность
является сходящейся и имеет своим пределом число а=0.
Пример 13.
а) .0
)1(
lim =
−
∞→
n
n
n
б)
.0
1
lim =
∞→
k
n
n
в)
.0
1
2
lim
2
=
+
∞→
n
n
n
2.2 Основные свойства сходящихся последовательностей
Докажем лемму, которая понадобится при доказательстве теоремы 5.
Лемма 1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {α
n
}
равны одному и тому же числу с, то с=0.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть
0lim,, =
∈
∀
=
∞→
n
n
nn
Nc
α
α
. Предполо-
жим, что 0≠с . Положим
2
с
=ε . Тогда по определению бесконечно малой по-
следовательности существует номер N такой, что при n >N выполняется нера-
венство
ε<α
п
. Так как α
n
=с, а
2
с
=ε , то последнее неравенство можно пере-
писать в виде
2
с
с < , откуда
2
1
1< . Полученное противоречие доказывает, что
неравенство 0≠с не может иметь места, и, значит, с=0.
Ч.т.д.
Теорема 5. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим противное, т.е. что сходящаяся
последовательность {x
n
} имеет два предела ba
≠
. Тогда по формуле (3) для
элементов x
n
получаем
nn
ax
α
+
=
и
nn
bx
β
+
=
,
где α
п
и β
п
– элементы бесконечно малых последовательностей {α
п
} и {β
п
}.
Приравнивая правые части этих соотношений, найдем, что α
п
- β
п
=b-a. Так как
все элементы бесконечно малой последовательности {α
п
- β
п
} равны одному и
тому же числу b – а, то по лемме 1 b – а=0, т.е. b = а, следовательно сходящаяся
последовательность имеет только один предел.
Ч.т.д.
Теорема 6. Сходящаяся последовательность ограничена.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {x
n
}- сходящаяся последовательность, и
число а – её предел. Пусть, далее, ε – произвольно положительное число и N –
номер, начиная с которого выполняется неравенство
ε
<
−
ax
n
. Тогда 
       в) lim (−1) n n = ±∞.
          n →∞
       Замечание 4. Очевидно, всякая бесконечно малая последовательность
является сходящейся и имеет своим пределом число а=0.
       Пример 13.
               (−1) n
       а) lim         = 0.
          n →∞    n
                1
       б) lim k = 0.
          n →∞ n

                2n 
       в) lim  2       = 0.
           n →∞ n + 1 


      2.2 Основные свойства сходящихся последовательностей

      Докажем лемму, которая понадобится при доказательстве теоремы 5.
      Лемма 1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {αn}
равны одному и тому же числу с, то с=0.
      Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть α n = c, ∀ n ∈ N , lim α n = 0 . Предполо-
                                                           n →∞
                                с
жим, что с ≠ 0 . Положим ε =      . Тогда по определению бесконечно малой по-
                                2
следовательности существует номер N такой, что при n >N выполняется нера-
                                       с
венство α п < ε . Так как αn=с, а ε = , то последнее неравенство можно пере-
                                       2
                    с               1
писать в виде с < , откуда 1 < . Полученное противоречие доказывает, что
                    2               2
неравенство с ≠ 0 не может иметь места, и, значит, с=0. Ч.т.д.
       Теорема 5. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим противное, т.е. что сходящаяся
последовательность {xn} имеет два предела a ≠ b . Тогда по формуле (3) для
элементов xn получаем
                                 xn = a + α n и xn = b + β n ,

где αп и βп – элементы бесконечно малых последовательностей {αп} и {βп}.
Приравнивая правые части этих соотношений, найдем, что αп - βп=b-a. Так как
все элементы бесконечно малой последовательности {αп - βп} равны одному и
тому же числу b – а, то по лемме 1 b – а=0, т.е. b = а, следовательно сходящаяся
последовательность имеет только один предел. Ч.т.д.
       Теорема 6. Сходящаяся последовательность ограничена.
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {xn}- сходящаяся последовательность, и
число а – её предел. Пусть, далее, ε – произвольно положительное число и N –
номер, начиная с которого выполняется неравенство x n − a < ε . Тогда

                                                                                15

Страницы