Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 16 стр.

                      xn = (xn − a ) + a ≤ xn − a + a < a + ε

для всех n > N. Пусть A = max{a + ε, x1 , x 2 , ...., x N }. Очевидно, x n ≤ A для
всех номеров п, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Ч.т.д.
       Замечание. Ограниченная последовательность может и не быть сходя-
щейся. Например, последовательность –1, 1, -1,…, (-1)п,…, очевидно, ограниче-
на, но не сходится. Докажем это. Предположим, что данная последовательность
имеет предел–число а. Тогда для ε=1/2 существует номер N такой, что при n >N
будет x n −a < 1 / 2 . Так как xn принимает попеременно значения 1 и –1, то
1 − a < 1 / 2 и (− 1) − a < 1 / 2 . Используя эти неравенства, получаем

                  2 = 1 − a + a − (− 1) ≤ 1 − a + a − (− 1) < 1 / 2 + 1 / 2 = 1 ,

т.е. 2<1. Полученное противоречие доказывает расходимость данной последо-
вательности.
       Теорема 7. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей
{xn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме
(разности) пределов последовательностей {xn} и {уn}.
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть a и b – соответственно пределы после-
довательностей {xn} и {уn}. Тогда по формуле (4):
                                  xn = a + α n , y n = b + β n ,

где {αп} и {βп} – бесконечно малые последовательности. Следовательно,
                                (x n ± y n ) − (a ± b ) = α n ± β n ,
по теореме 2 последовательность {α п ± β п } бесконечно малая. Таким образом,
последовательность {( x n ± y n ) − (a ± b )} также бесконечно малая, и поэтому по-
следовательность {x n ± y n } сходится и имеет своим пределом число a ± b .
Ч.т.д.
       Теорема 8. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {уn}
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пре-
делов последовательностей {xn} и {уn}.
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть a и b – соответственно пределы после-
довательностей {xn} и {уn}. Тогда по формуле (4):
                                  xn = a + α n , y n = b + β n

где {αп} и {βп} – бесконечно малые последовательности. Следовательно,

                               x n y n − ab = aβ n + bα n + α n β n .


16