Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 18 стр.

тем применяем теоремы о пределе частного и суммы. Следует иметь в виду,
         3
что lim = 0; lim n = ∞.
    n →∞ n     n →∞
                                    lim 2 − lim 3 / n
            2n − 3       2 − 3 / n n →∞     n →∞        2−0
        lim 2      = lim          =                   =     = 0.
       n →∞ n + 1 n →∞ n + 1 / n    lim n + lim 1 / n ∞ + 0
                                         n →∞       n →∞
                                   n sin n!
       Пример 17. Найти lim          2
                                                .
                            n →∞  (n + 1)
        Р е ш е н и е. Применяем теорему о пределе произведения: предел про-
изведения двух сходящихся последовательностей равен произведению преде-
лов. Первый сомножитель является бесконечно малой последовательностью,
               n
т. е. lim 2         = 0, второй – ограниченной последовательностью sin n! ≤ 1.
      n →∞ n + 1
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую являет-
ся бесконечно малой последовательностью.
              n sin n!          n
        lim 2          = lim 2     ⋅ lim sin n! ≤ 0 ⋅ 1 = 0.
        n →∞ ( n + 1)    n →∞ n + 1 n → ∞


       Пример 18. Найти lim ( n + 1 − n ).
                            n →∞
       Р е ш е н и е. Применим имеющиеся теоремы о пределах, а именно:
предел разности равен разности пределов. При n → ∞ и вычитаемое и умень-
шаемое стремятся к бесконечности, следовательно, применить теорему о пре-
деле разности нельзя, т.к. по условию теоремы предполагается существование
конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем выражение n + 1 − n :
           ( n + 1 − n )( n + 1 + n )       ( n + 1) 2 − ( n ) 2         n +1− n
       lim                            = lim                      = lim               =
       n→∞        ( n + 1 + n)          n→∞   ( n + 1 + n)         n→∞ ( n + 1 + n )

                   1              1
       = lim               = lim       =0
         n→∞ ( n + 1 + n ) n→∞ ∞ + ∞


                                5n      sin n 
       Пример 19. Найти lim           +       .
                           n →∞ n + 1     n 
       Р е ш е н и е. Применяем имеющиеся теоремы о пределах, а именно:
предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме пределов.
Рассмотрим каждый предел отдельно. Первый предел находим, поделив числи-
тель и знаменатель на n, второй предел представляет произведение ограничен-
ной последовательности на бесконечно малую, т.е. он является пределом бес-
конечно малой последовательности:




18