Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 19 стр.

             5n       sin n        5n       sin n           5n : n                     1
        lim        +         = lim    + lim       = lim               + lim sin n lim =
        n →∞ n + 1      n  n →∞ n + 1 n →∞ n        n →∞ ( n + 1) : n   n →∞      n →∞ n

            5
        =       + 1 ⋅ 0 = 5.
           1+ 0

       2.3 Предельный переход в неравенствах

      Теорема 10. Если элементы сходящейся последовательности {x n }, на-
чиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≥ b ( x n ≤ b ) , то и
предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b ) .
      Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть все элементы x n , начиная с некоторого
номера, удовлетворяют неравенству x n ≥ b и lim x n = a . Требуется доказать
                                                       n →∞
неравенство a ≥ b . Предположим противное, т.е. что a < b.
       Так как a - предел {x n }, то для ε = b − a существует номер N такой, что
при n>N выполняется неравенство x n − a < b − a, которое равносильно сле-
дующим двум неравенствам: − (b − a ) < x n − a < b − a. Из правого неравенства
получаем: x n < b при n>N, а это противоречит условию теоремы. Следователь-
но, a ≥ b. Случай x n ≤ b рассматривается аналогично. Ч.т.д.

         Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей {x n } и
{y n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≤ y n , то их
пределы удовлетворяют неравенству lim x n ≤ lim y n .
                                         n →∞        n →∞
          В самом деле, начиная с некоторого номера, элементы последовательно-
сти {y n − x n } неотрицательны, а             поэтому неотрицателен и ее предел:
 lim ( y n − x n ) = lim y n − lim x n ≥ 0. Откуда следует, что lim x n ≤ lim y n .
n →∞            n →∞      n →∞                                n →∞      n →∞

         С л е д с т в и е 2 . Если все элементы сходящейся последовательности
{x n } принадлежат отрезку [a, b], то и ее предел с также принадлежит этому
отрезку.
         В самом деле, так как a ≤ x n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.
         Теорема 11. Пусть даны три последовательности {x n } , {y n } и {z n }, при-
чем {xn } ≤ {y n } ≤ {z n } для всех n ∈ N , и пусть последовательности {x n } и {z n }
имеют один и тот же предел a . Тогда последовательность {y n } также имеет
предел a .
         Д о к а з а т е л ь с т в о : Возьмем любое ε > 0. Для последовательности
{x n } найдется номер N1 такой, что x n − a < ε при n>N1, т.е.
                                  a − ε < x n < a + ε. .                            (5)

                                                                                      19