Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

20
По этому же ε для последовательности
{
}
n
z найдется номер N
2
такой,
что
ε<− az
n
при n>N
2
, т.е.
ε
+
<
<
ε
−
aza
n
. (6)
Пусть
{
}
.,max
2
1
NNN = . Тогда при n>N будут выполняться одновременно не-
равенства (5) и (6). Используя подчеркнутые неравенства, а также неравенства,
данные в условии теоремы, получаем
ε
+
<
≤
≤
<ε− azyxa
nnn
при n>N.
Отсюда
ε
+
<<ε
−
aya
n
или
ε
<
−
ay
n
при n>N.
Это значит, что предел последовательности
{
}
n
y равен a . Ч.т.д.
2.4 Определение и признак сходимости монотонных последователь-
ностей
Определение: Последовательность
{
}
n
x называется возрастающей, если
1+
<
nn
xx для всех
N
n ∈ ; неубывающей, если
1+
≤
nn
xx для всех
N
n ∈ ; убы-
вающей, если x
n
>x
n+1
для всех
N
n
∈
; не возрастающей, если
1+
≥
nn
xx для всех
N
n ∈ .
Все такие последовательности объединяются общим названием: моно-
тонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности
называются также строго монотонными.
Пример монотонных последовательностей.
а) Последовательность 1,1/2,1/3,…,1/n,…– убывающая и ограниченная.
б) Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3…, 1/n, 1/n,…– невозрас-
тающая и ограниченная.
в) Последовательность 1, 2, 3, …n, … – возрастающая и неограниченная.
г) Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, …n, n, … – неубывающая и неог-
раниченная.
д) Последовательность 1/2, 2/3, 3/4,…, n/(n+1), … – возрастающая и ог-
раниченная.
Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней
мере, с одной стороны например, неубывающие последовательности - снизу
(
1
xx
n
≥ для всех
N
n ∈ ). Оказывается, что если монотонная последователь-
ность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится. Не-
монотонные последовательности этим свойством не обладают. Так, немонотон-
ная последовательность
{
}
n
)1(− ограничена, но не сходится. 
        По этому же ε для последовательности {z n } найдется номер N2 такой,
что z n − a < ε при n>N2, т.е.

                               a − ε < zn < a + ε .                            (6)

               {       }
Пусть N = max N 1 , N 2 . . Тогда при n>N будут выполняться одновременно не-
равенства (5) и (6). Используя подчеркнутые неравенства, а также неравенства,
данные в условии теоремы, получаем

                      a − ε < x n ≤ y n ≤ z n < a + ε при n>N.

Отсюда
                   a − ε < y n < a + ε или y n − a < ε при n>N.

Это значит, что предел последовательности {y n } равен a . Ч.т.д.

     2.4 Определение и признак сходимости монотонных последователь-
ностей

          Определение: Последовательность {x n } называется возрастающей, если
 x n < x n +1 для всех n ∈ N ; неубывающей, если x n ≤ x n +1 для всех n ∈ N ; убы-
вающей, если xn>xn+1 для всех n ∈ N ; не возрастающей, если x n ≥ x n +1 для всех
n∈ N .
          Все такие последовательности объединяются общим названием: моно-
тонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности
называются также строго монотонными.
          Пример монотонных последовательностей.
          а) Последовательность 1,1/2,1/3,…,1/n,…– убывающая и ограниченная.
          б) Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3…, 1/n, 1/n,…– невозрас-
тающая и ограниченная.
          в) Последовательность 1, 2, 3, …n, … – возрастающая и неограниченная.
          г) Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, …n, n, … – неубывающая и неог-
раниченная.
          д) Последовательность 1/2, 2/3, 3/4,…, n/(n+1), … – возрастающая и ог-
раниченная.
          Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней
мере, с одной стороны например, неубывающие последовательности - снизу
( x n ≥ x1 для всех n ∈ N ). Оказывается, что если монотонная последователь-
ность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится. Не-
монотонные последовательности этим свойством не обладают. Так, немонотон-
                           {   }
ная последовательность (−1) n ограничена, но не сходится.

20

Страницы