Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 22 стр.

      3 Понятие функции

      3.1 Определение функции

         При изучении различных явлений природы и решении технических за-
дач, а следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение од-
ной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, при изуче-
нии движения пройденный путь рассматривается как переменная, изменяющая
в зависимости от изменения времени. Здесь пройденный путь есть функция
времени.
         Рассмотрим другой пример. Известно, что площадь круга выражается
через радиус так: Q = πR 2 . Если радиус R будет принимать различные число-
вые значения, то площадь Q также будет принимать различные числовые зна-
чения. Таким образом, изменение одной переменной влечет изменение другой.
Здесь площадь круга Q есть функция радиуса R. Сформулируем определение
понятия «функция».
         Определение: Если каждому значению переменной х, принадлежащему
некоторой области, соответствует одно определенное значение другой пере-
менной у, то у есть функция от х или, в символической записи,
 y = f ( x), y = ϕ( x) и т.п.
         Переменная х называется независимой переменной или аргументом. За-
висимость переменных х, и у называется функциональной зависимостью. Буква
f в символической записи функциональной зависимости y = f (x) указывает,
что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить зна-
чение у. Вместо записи y = f ( x), u = ϕ( x) и т.д. иногда пишут y = y ( x), u = u ( x)
и т.д., т.е буквы у, и и т.д. обозначают и зависимую переменную, и символ со-
вокупности операций над х.
         Запись у = С, где С – постоянная, обозначает функцию, значение кото-
рой при любом значении х одно и тоже и равно С.
         Определение: Совокупность значений х, для которых определяются зна-
чения у в силу правила f(x), называется областью определения функции (или
областью существования функции).
         Пример 23. Функция y = sin x определена при всех х. Следовательно, ее
областью определения будет бесконечный интервал − ∞ < x < +∞ .
         Замечание. Иногда в определении понятия функции допускают, что ка-
ждому значению х, принадлежащему некоторой области, соответствует не од-
но, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом
случае функцию называют многозначной в отличие от определенной выше
функции, которую называют однозначной. В дальнейшем, говоря о функции,
мы будем иметь в виду только однозначные функции. Если в силу необходимо-
сти придется иногда иметь дело с многозначными функциями, то мы будем де-
лать специальные оговорки. Наряду с термином «функция» употребляют рав-
нозначный термин «отображение», а вместо записи у=f(x) пишут f : x a y и

22