Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 23 стр.

говорят, что отображение f отображает число х в число y, или, что тоже самое,
число у является образом числа х при отображении f.
      При вычислениях запись y = f ( x) обычно удобнее записи вида
f : x a y. Например, запись f ( x) = x 2 значительно удобнее и проще использо-
вать при аналитических преобразованиях, чем запись f : x a x 2 .
          Определение: Про функцию f(x), определенную на некотором множест-
ве Х, говорят, что она ограничена сверху (снизу) на этом множестве, если су-
ществует число М (m) такое, что для любого x ∈ X выполняется неравенство
 f ( x) ≤ M ( f ( x)) ≥ m). Функция, ограниченная сверху и снизу на множестве Х,
называется ограниченной на этом множестве.
          Условие ограниченности функции f(x) можно записать в виде: существу-
ет число М ≥ 0 такое, что для любого x ∈ X выполняется неравенство
  f ( x) ≤ M . Например, функция f(x)=sinx ограничена на всей числовой пря-
мой, так как sin x ≤ 1 при любом х, а функция f(x)=1/x не является ограни-
ченной сверху на интервале (0,1),так как не существует числа М такого, что
для любого x ∈ (0;1) выполняется неравенство 1 / x ≤ M . График функции может
представлять собой некоторую «сплошную» линию (кривую или прямую), а
может состоять из отдельных точек (х, у), координаты которых связаны соот-
ношением y=f(x), например график функции y=n! (рисунок 3).
       Не всякая линия является графиком какой-либо функции. Например,
окружность x 2 + y 2 = 1 не является графиком функции, так как каждому
x ∈ (−1,1)   соответствуют   два   различных    значениям      у:   y1 = 1 − x 2   и
y 2 = − 1 − x 2 , что противоречит требованию однозначности в определении
функции (рис.4). Однако часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости,
является графиком функции y = − 1 − x 2 , а другая ее часть, лежащая в верхней
полуплоскости, - графиком функции y = 1 − x 2 .
               у
                4!

                                                      y

                                                              y1 = 1 − x 2

                3!                                                      x
                                               -1    0    x    1
                2!
                1!                                            y2 = − 1 − x 2

                0    1 2 3 4       x

                     Рисунок 3                      Рисунок 4
                                                                                   23