Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

21
Теорема 12. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Пример 20. Доказать, что последовательность с общим элементом
12 +
=
n
n
x
n
монотонно возрастающей.
Р е ш е н и е. Найдём .
32
1
1)1(2
1
:
1
+
+
=
++
+
+
n
n
n
n
x
n
Найдём разность
.
)12)(32(
1
)12)(32(
32132
)12)(32(
)32()1)(12(
1232
1
:
22
1
++
=
=
++
−−++
=
++
+−++
=
+
−
+
+
−
+
nn
nn
nnnn
nn
nnnn
n
n
n
n
xx
nn
Так как
N
nnn
∈
>
+
>+> ,0)12(,0)32(,01, то
()
0
1
>−
+ nn
xx
Следовательно,
nn
xx >
+1
для всех
N
n
∈
. Это означает, что последователь-
ность
{}
n
x – возрастающая.
Пример 21. Доказать, что последовательность с общим элементом
n
n
n
x
5
=
– монотонно убывающая.
Р е ш е н и е. Рассмотрим отношение последующего элемента
1+n
x к
предыдущему x
n
: ;1
5
2
5
11
5
/11
5
11
55
5)1(
5
:
5
1
1
1
<=
+
≤
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
n
n
n
n
n
nn
x
x
n
n
nn
n
n
Следовательно,
1+
>
nn
xx для любого
N
n
∈
, что и требовалось доказать.
Пример 22. Доказать, что последовательность с общим элементом
2
nx
n
= – монотонно возрастающая.
Р е ш е н и е. Действительно, ,12)1(
222
1 nn
xnnnnx =>++=+=
+
что
выполняется при любом
N
n ∈ . Следовательно,
{
}
2
n – монотонно возрастаю-
щая последовательность. 
      Теорема 12. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
      Пример 20. Доказать, что последовательность с общим элементом
       n
xn =        монотонно возрастающей.
     2n + 1
                                        n +1       n +1
      Р е ш е н и е. Найдём x n +1 :             =       . Найдём разность
                                     2(n + 1) + 1 2n + 3
                n +1    n      (2n + 1)(n + 1) − n(2n + 3) 2n 2 + 3n + 1 − 2n 2 − 3n
x n +1 − x n :       −       =                            =                          =
               2n + 3 2n + 1        (2n + 3)(2n + 1)           (2n + 3)(2n + 1)
            1
=                    .
   (2n + 3)(2n + 1)
         Так как 1 > 0, (2n + 3) > 0 , (2n + 1) > 0, n ∈ N , то ( x n +1 − x n > 0 )
Следовательно, x n +1 > x n для всех n ∈ N . Это означает, что последователь-
ность {x n } – возрастающая.
         Пример 21. Доказать, что последовательность с общим элементом
        n
x n = n – монотонно убывающая.
       5
         Р е ш е н и е. Рассмотрим отношение последующего элемента x n +1 к
                   x n +1 n + 1 n (n + 1)5 n n + 1 1 1 + 1 / n 1 + 1 2
предыдущему xn:          = n +1 : n =          =        =        ≤     = < 1;
                    xn     5     5     5 n 5n      n 5      5       5    5
Следовательно, x n > x n +1 для любого n ∈ N , что и требовалось доказать.
         Пример 22. Доказать, что последовательность с общим элементом
x n = n 2 – монотонно возрастающая.
       Р е ш е н и е. Действительно, x n +1 = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 > n 2 = x n , что
                                                      { }
выполняется при любом n ∈ N . Следовательно, n 2 – монотонно возрастаю-
щая последовательность.




                                                                                     21

Страницы