Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

17
Согласно теоремам 2 – 4 последовательность
{
}
nnnn
ba βα+α+β бесконечно
малая. Таким образом, последовательность
{
}
abyx
nn
−
также бесконечно ма-
лая, и поэтому последовательность {x
n
у
n
} сходится и имеет свои пределом чис-
ло ab. Ч.т.д.
Теорема 9. Частное двух сходящихся последовательностей {x
n
} и {у
n
},
при условии, что предел {у
n
} отличен от нуля, есть сходящаяся последователь-
ность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x
n
} и
{у
n
}. (Без доказательства).
Пример 14. Найдем
13
12
lim
2
2
−
++
∞→
n
nn
n
.
Р е ш е н и е. При
∞
→n числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя,
так как в условии этой теоремы предполагается существование конечных пре-
делов. Поэтому сначала преобразуем формулу общего члена данной последова-
тельности, разделив числитель и знаменатель на n
2
. Затем, применяя теоремы о
пределе частного и о пределе суммы, найдем
.
3
2
03
002
)/1(lim3lim
)/1(lim)/1(lim2lim
)/13(lim
)/1/12(lim
/13
/1/12
lim
13
12
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
++
=
−
++
=
=
−
++
=
−
++
=
−
++
∞→∞→
∞→∞→∞→
∞→
∞→
∞→∞→
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
nn
nnn
n
n
nn
Пример 15. Найти .
5
42
lim
2
3
+
+
∞→
n
n
n
Р е ш е н и е. При
∞
→n числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности, следовательно, в этом примере также применить теорему о пре-
деле частного нельзя. Преобразовываем данное выражение: делим числитель и
знаменатель на n
2
. Затем применяем теоремы о пределе частного и суммы,
принимаем во внимание то, что
∞
=
∞→
n
n
2lim
.
.
01
0
/5lim1lim
/4lim2lim
/51
/42
lim
5
42
lim
2
2
2
2
2
3
∞=
+
+∞
=
+
+
=
+
+
=
+
+
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
n
nn
n
nn
n
n
nn
nn
nn
Пример 16. Найти
.
1
32
lim
2
+
−
∞→
n
n
n
Р е ш е н и е. При
∞
→n числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя.
Преобразовываем данное выражение: делим числитель и знаменатель на n . За-
                                                                 {
Согласно теоремам 2 – 4 последовательность aβ n + bα n + α n β n бесконечно            }
малая. Таким образом, последовательность {x n y n − ab} также бесконечно ма-
лая, и поэтому последовательность {xn уn} сходится и имеет свои пределом чис-
ло ab. Ч.т.д.
        Теорема 9. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {уn},
при условии, что предел {уn} отличен от нуля, есть сходящаяся последователь-
ность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и
{уn}. (Без доказательства).
                                     2n 2 + n + 1
        Пример 14. Найдем lim                       .
                                n→∞ 3n 2 − 1
        Р е ш е н и е. При n → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя,
так как в условии этой теоремы предполагается существование конечных пре-
делов. Поэтому сначала преобразуем формулу общего члена данной последова-
тельности, разделив числитель и знаменатель на n2. Затем, применяя теоремы о
пределе частного и о пределе суммы, найдем
                                                        lim (2 + 1 / n + 1 / n 2 )
             2n 2 + n + 1        2 + 1 / n + 1 / n 2 n →∞
        lim               = lim                       =                            =
        n →∞ 3n 2 − 1       n →∞    3 − 1/ n  2                           2
                                                           lim (3 − 1 / n )
                                                                n →∞

           lim 2 + lim (1 / n) + lim (1 / n 2 )
           n →∞     n →∞             n →∞                2+0+0 2
       =                                             =        = .
                  lim 3 − lim (1 / n )  2                 3−0  3
                  n →∞      n →∞


                                          2n 3 + 4
       Пример 15. Найти lim           .
                               n2 + 5
                                   n →∞
       Р е ш е н и е. При n → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности, следовательно, в этом примере также применить теорему о пре-
деле частного нельзя. Преобразовываем данное выражение: делим числитель и
знаменатель на n2. Затем применяем теоремы о пределе частного и суммы,
принимаем во внимание то, что lim 2n = ∞ .
                                          n →∞
                                                     lim 2n + lim 4 / n 2
              2n 3 + 4            2n + 4 / n 2       n →∞      n →∞             ∞+0
        lim              = lim                   =                          =        = ∞.
       n →∞   n2 + 5       n →∞    1 + 5 / n2         lim 1 + lim 5 / n 2       1+ 0
                                                     n →∞     n →∞
                                          2n − 3
       Пример 16. Найти lim         .
                             n2 + 1n →∞
      Р е ш е н и е. При n → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя.
Преобразовываем данное выражение: делим числитель и знаменатель на n . За-



                                                                                            17

Страницы