Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

14
конечно малая последовательность, то
ax
n
n
=
∞→
lim
. Представление (4) использу-
ется при доказательствах теорем о пределах последовательностей.
Пример 11. Представим последовательность
{}
+
=
1n
n
x
n
в виде
.
nn
ax α+=
Р е ш е н и е. Любой элемент последовательности
{
}
n
x можно предста-
вить следующим образом:
,
1
1
1
1
11
nn
a
nn
n
x α+=
+
−=
+
−+
= где а=1 - предел последовательности x
n
,
1
1
lim =
+
∞→
n
n
n
;
{}
+
−=α
1
1
n
n
- бесконечно малая последовательность.
Замечание 2. Неравенство
ε
<
−
ах
п
равносильно неравенствам
, или
ε
+<<ε
−
ε<−<ε− axaax
nn
которые означают, что элемент x
n
находится
в ε-окрестности точки а (рисунок 2). Поэтому определение предела последова-
тельности можно сформулировать следующим образом: число а называется
пределом последовательности {x
n
}, если для любой ε-окрестности точки а су-
ществует номер N такой, что все элементы x
n
с номерами n >N находятся в этой
ε-окрестности.
Замечание 3. Очевидно, что бесконечно большая последовательность
{x
n
} не имеет предела. Иногда говорят, что она имеет бесконечный предел, и
пишут
∞
=
∞→
n
n
xlim
.
Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности
положительны (отрицательны), то пишут
−∞=+∞=
∞→∞→
n
n
n
n
xx limlim .
Предел последовательности, как он был определен ранее, будем назы-
вать иногда в отличие от бесконечного предела конечным пределом.
Пример 12.
а)
.)(lim
−
∞=−
∞→
n
n
б)
.)(lim
2
+∞=
∞→
n
n
Рисунок 2
а-ε
a
х
п
а+ε
х
конечно малая последовательность, то lim xn = a . Представление (4) использу-
                                          n→∞
ется при доказательствах теорем о пределах последовательностей.
                                                                n 
        Пример 11. Представим последовательность {x n } =             в виде
                                                                n + 1
xn = a + α n .
        Р е ш е н и е. Любой элемент последовательности {x n } можно предста-
вить следующим образом:
      n +1−1             1
xn =            =1−          = a + α n , где а=1 - предел последовательности xn,
        n +1           n +1
       n                      1 
 lim       = 1 ; {α n } = −       - бесконечно малая последовательность.
n →∞ n + 1                 n + 1
        Замечание 2. Неравенство х п − а < ε равносильно неравенствам
− ε < xn − a < ε или a − ε < xn < a + ε, которые означают, что элемент xn находится
в ε-окрестности точки а (рисунок 2). Поэтому определение предела последова-
тельности можно сформулировать следующим образом: число а называется
пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности точки а су-
ществует номер N такой, что все элементы xn с номерами n >N находятся в этой
ε-окрестности.


                         а-ε          a   хп      а+ε    х

                                  Рисунок 2

       Замечание 3. Очевидно, что бесконечно большая последовательность
{xn} не имеет предела. Иногда говорят, что она имеет бесконечный предел, и
пишут
                                lim xn = ∞ .
                                   n→∞


Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности
положительны (отрицательны), то пишут

                              lim x n = +∞ lim x n = −∞  .
                              n →∞          n →∞          
       Предел последовательности, как он был определен ранее, будем назы-
вать иногда в отличие от бесконечного предела конечным пределом.
       Пример 12.
       а) lim (− n) = −∞.
          n →∞
       б) lim (n 2 ) = +∞.
          n →∞

14

Страницы