Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 466 стр.

        pRILOVENIE         II.   kompleksnye ~isla
   1.   rASSMOTRIM MNOVESTWO R2. eGO \LEMENTY z = (x; y), GDE x; y 2 R, BUDEM
ZAPISYWATX W WIDE FORMALXNOJ SUMMY z = x + iy (ZDESX i QWLQETSQ POKA PROSTO
SIMWOLOM). oPREDELIM NAD \TIMI FORMALXNYMI SUMMAMI OPERACII SLOVENIQ
(+) I UMNOVENIQ (
) RAWENSTWAMI
 (1) (x1 + iy1) + (x2 + iy2 )  (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
        (x1 + iy1 ) 
 (x2 + iy2 )  (x1 x2 , y1 y2 ) + i(x1y2 + x2 y1 ).
     uKAZANNYE OPERACII OPREDELQ@T W R2 STRUKTURU KOMMUTATIWNOGO KOLXCA S
EDINICEJ (NULEM KOLXCA QWLQETSQ \LEMENT 0+ i0, A EDINICEJ | \LEMENT 1+ i0)
(!!). bOLEE TOGO, NENULEWYE \LEMENTY \TOGO KOLXCA OBRAZU@T GRUPPU PO UM-
NOVENI@. fw PROWERKE NUVDAETSQ LI[X SU]ESTWOWANIE OBRATNOGO U KAVDOGO
\LEMENTA z = x + iy =   6 0. w \TOM SLU^AE x2 + y2 =6 0 I, KAK POKAZYWAETy PROSTOJ
PODS^ET, ISKOMYM OBRATNYM QWLQETSQ \LEMENT z,1 = x2 +x y2 , i x2 + y2 .g tA-
KIM OBRAZOM, NA[E KOLXCO QWLQETSQ POLEM. oNO NAZYWAETSQ POLEM KOMPLEKSNYH
^ISEL I OBOZNA^AETSQ ^EREZ C . pOLE WE]ESTWENNYH ^ISEL R MOVNO RASSMATRI-
WATX KAK PODPOLE C , ESLI OTOVDESTWITX ^ISLO x 2 R S ^ISLOM x + i0 2 C .
|LEMENT 0+ i1 NAZYWAETSQ MNIMOJ EDINICEJ (MY PI[EM DALEE i WMESTO 0+ i1).
oTMETIM, ^TO i2 = i 
 i = (0 + i1)(0 + i1) = ,1. s U^ETOM \TOGO ZAME^ANIQ OPE-
RACII (1) PEREHODQT W PRIWY^NYE OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ, DISTRIBU-
TIWNOGO OTNOSITELXNO SLOVENIQ, S ZAMENOJ i2 NA ,1. ~ISLO x , iy NAZYWAETSQ
SOPRQVENNYM K ^ISLU x + iy I OBOZNA^AETSQ z.
     2. kOMPLEKSNYE ^ISLA ESTESTWENNO IZOBRAVATX TO^KAMI ^ISLOWOJ PLOSKOS-
TI R2 : z = x + iy ! (x; y) 2 R2. pRI \TOM x  Rez NAZYWAETSQ DEJSTWITELX-
NOJ ^ASTX@ ^ISLA z; y  Imz | MNIMOJ ^ASTX@ z (Real | DEJSTWITELXNYJ,
Imaginary | MNIMYJ, ANGL.). w TAKOJ INTERPRETACII POKOORDINATNOE SLOVE-
NIE (1) KOMPLEKSNYH ^ISEL SOOTWETSTWUET PRAWILU SLOVENIQ WEKTOROW        p 2 . mODU -
LEM KOMPLEKSNOGO ^ISLA z = x + iy NAZYWAETSQ WELI^INA jzj  x + y . w           2
SOOTWETSTWII S UKAZANNOJ INTERPRETACIEJ C NAZYWAETSQ TAKVE KOMPLEKSNOJ
PLOSKOSTX@. pEREHODQ K POLQRNYM KOORDINATAM, ^ISLO z = x + iy 2 C ZADADIM
KOORDINATAMI (r; '):
                                 x = r cos '; y = r sin ';
TAK ^TO z = r(cos ' + i sin '). |TO TRIGONOMETRI^ESKAQ FORMA KOMPLEKSNOGO
^ISLA. zDESX r = jzj, A UGOL ' NAZYWAETSQ ARGUMENTOM ^ISLA z. aRGUMENT OPRE-
DELQETSQ S TO^NOSTX@ DO WELI^INY, KRATNOJ 2. oTMETIM, ^TO PRI UMNOVENII


                                        466