ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
поэтому векторы
x
и являются базисом этого пространства. Таким
образом, линейный оператор
y
f
– диагонализируемый.
Найдём матрицу линейного оператора
f
в базисе
y
x
,
(
. Согласно
определению матрицы линейного оператора, элементы первого столбца
этой матрицы – это коэффициенты в разложении вектора
)
x
f
по бази-
су
y
x
,
, а второго столбца – коэффициенты в разложении
)( y
f
. Так как
yxxx xf
86
01)
1
(
,
yxyy yf (
303)
2
,
f
в базисе y
x
, имеет вид: матрица линейного оператора
30
01
D .
Пример 2. Линейный оператор
f
линейного пространства
)2(
L
в
базисе задан матрицей
21
, ee
31
11
A .
Выясним, является ли он диагонализируемым.
Найдём собственные значения линейного оператора
f
.
AE
0)2(44)1(1)3)(1λ
31
11λ
22
(
.
Это уравнение имеет один корень 2
, который и является собствен-
ным значением линейного оператора
f
.
Найдем все собственные векторы линейного оператора
f
, то есть
все собственные векторы, относящиеся к 2
.
.
0
0
31
12
2
1
x
x
0
0
21
21
xx
xx
2
1
XAE )( O
Общим решением этой системы является
21
xx
. Фундаментальная
система состоит из одного решения. Тогда все остальные решения ли-
нейно выражаются через это решение, то есть любые два собственных
вектора линейного оператора
f
пропорциональны, откуда следует, что
они линейно зависимы. Получаем, что в линейном пространстве
)2(
L
,
которое имеет размерность 2dim
)2(
L
, не существует базиса из собст-
венных векторов линейного оператора
f
. Согласно критерию диагона-
лизируемости линейного оператора (теорема 5.11), линейный оператор
f
не является диагонализируемым.
