Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2) Пусть – базис, состоящи
й из собственных векторов
линейного оператора
n
eee ,,,
21
f
. Тогда из определения собственного вектора
следует, что
111
)( eef
,
222
)( eef
,
,
nnn
eef
)(
,
где
n
,,,
21
ℝ – собственные значения линейного оператора
f
.
Тогда в базисе матрица линейного опе
ратора
n
ee ,,
2
e ,
1
f
имеет вид:
n
00
0λ0
00λ
2
1
.
Эта матрица – диагональная, откуда следует, что
f
– диагонализируе-
мый оператор.
Теорема доказана.
Замечание. С помощью теоремы 5.11 можно выяснить, является ли
линейный оператор диагонализируемым.
Пример 1. Линейный оператор
f
линейного пространства
)2(
L
в
базисе задан матрицей
21
,ee
32
01
A .
Выясним, является ли он диагонализируемым. Для этого найдём
все собственные векторы этого линейного оператора. Если из них мож-
но выбрать векторы, образующие базис линейного пространства
)2(
L
, то
согласно критерию диагонализируемости линейного оператора (теорема
5.11), линейный оператор
f
– диагонализируемый, в противном слу-
чае – нет.
Найдем собственные значения линейного оператора
f
.
AE
0)3)(1λ(
32
01λ
.
Это уравнение имеет два корня
1
1
и 3
2
, которые и являются
собственными значениями линейного оператора
f
.
Обозначим через
x
– собственный вектор, относящийся к
1
1
,
через – с
обственный вектор, относящийся к 3y
2
. Согласно теореме
5.7, собственные векторы, относящиеся к различным собственным зна-
чениям, – линейно независимы. Следовательно,
x
и – линейно неза-
висимы. Линейное пространство
y
)2(
L
имеет размерность 2dim
)2(
L
,
85

Страницы